Legyen a, b, x, y, z pozitiv valos szamok, az alabbi egyenlotlenseget tudnatok-e segiteni igazolni?

A Caucy Schwarz-nál (nincs benne t) olyasmi szokott lenni, hogy mondjuk azt kell igazolni, hogy A≥b

Megszorzod A-t egy alkalmas C-ve és kapsz ilyet a Cauchy-Schwartz-ból, hogy

AC≥D

vagyis

A≥D/C

és akkor még azt kel bizonyítani, hogy D/C ≥ B

Ennek a szellemében nézzük mit lehet itt szorozni.

Mondjuk mindjárt itt van ez:

(x/(ay+bz) + y/(az+bx) + z/(ax+by) )*((ay+bz) + (az+bx) + (ax+by) ) ≥ (√x + √y + √z)²

(x/(ay+bz) + y/(az+bx) + z/(ax+by) )≥ (√x + √y + √z)²/((ay+bz) + (az+bx) + (ax+by) ) =

= (√x + √y + √z)²/((a+b)(x+y+z)) = 1/(a+b) * (√x + √y + √z)²/(x+y+z)

Elegendő tehát annyit bebizonyítani, hogy

(√x + √y + √z)²/(x+y+z) ≥ 3

ami tök nem fog menni, mert az alőző ≥-nél valószínűleg túl nagyot ugrottunk lefelé,

próbáljunk egy másik szorzót amivel valami jobbat kapunk:

(x/(ay+bz) + y/(az+bx) + z/(ax+by) )*(x(ay+bz) + y(az+bx) + z(ax+by) ) ≥ (x + y + z)²

vagyis

(x/(ay+bz) + y/(az+bx) + z/(ax+by) )≥ (x + y + z)² /(x(ay+bz) + y(az+bx) + z(ax+by) ) =

(x+y+z)² /(a+b)(x+y+z) = (x+y+z)²/(a+b)(xy+xz+yz)

VAgyis azt kéne bebizonyítani, hogy

(x+y+z)²/(xy+xz+yz) ≥ 3

(x+y+z)²/(xy+xz+yz)=(x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz)/(xy+xz+yz) =

(x²+y²+z²)/(xy+yz+xz) + 2

Tehát még annyi kell, hogy: (x²+y²+z²)/(xy+yz+xz) ≥1

Számtani-mértani közepek:

x²+y²≥2xy

x²+z² ≥ 2xz

y²+z² ≥ 2yz

vagyis

(2x²+2y²+2z²) ≥ 2xy+2xz+2yz

vagyis

(x²+y²+z²)/(xy+yz+xz) ≥1

Na ez kicsit nyögvnyelős volt, kíváncsi vagyok tud-e valaki valami egyszerűbbet.