Hogyan lehet igazolni, hogy az f(x)= |x|, ha x eleme Q és f(x)=x, ha x eleme Q\R függvénynek nincs primitiv függvénye?

A primitív függvény fogalma tartalmazza azt, hogy (véges vagy végtelen) intervallumon legyen értelmezve. Ez itt nem így van.

Q\R különben üreshalmaz.

A primitív függvény definíciója:

int( f(x)' ) dx = f(x)

Az |x|-nek azért nem lehet primitív függvénye a valós számok halmazán, mert ha deriválod, akkor a deriváltfüggvény nincs értelmezve x=0-ban, így ha "vissza"integrálod, akkor nem az eredeti |x|-et kapod vissza, hanem egy olyan függvényt, amely x=0-ban szakad.

Hogy az Q\R-rel mit akarsz, az számomra is rejtély, mert az valóban az üreshalmaz.

Ha R\Q-ra gondoltál, vagyis az irracionális számok halmazára, akkor meg azért nincs primitív függvénye, mert a derivált mindig egy pont körüli környezetben vizsgálható csak, amelyben az adott pontban folytonos a függvény, viszont az irracionális számok esetén a függvény diszkrét pontokból áll, ezáltal differenciálhányadost sem tudunk felírni, így pedig a derivált sem létezik.