Adott egy forgás kúp aminek magassága 5*GYÖK(3), a és r pedig egyenlőek. Mekkora a felszíne, térfogata, a palást középponti szöge?

Tudjuk, hogy a magasság, a sugár és az alkotó derékszögű háromszöget alkotnak, ahol az alkotó az átfogó. Mivel a=r, ezért az átfogó akkora, mint az egyik befogó, ez meg így nem fog menni, tehát hibás a feladat.

A szövegben nem 2r van? Vagy esetleg r helyett d?

Akkor az alkotó hossza megegyezik az átmérőével, vagyis a=d, viszont d=2r, tehát a=2r. A derékszögű háromszögünkben így az egyik befogó 5*gyök(3), a másik r, a harmadik 2r. így Pitagorasz tételével:

(5*gyök(3))^2 + r^2 = (2r)^2, zárójelbontás:

75 + r^2 = 4r^2, kivonunk r^2-et:

75 = 3r^2, osztunk 3-mal:

25 = r^2, gyököt vonunk:

5 = r, tehát a sugár 5 , az átmérő és az alkotó 10 hosszú lesz.

Innen már a felszín és térfogat számolható a képletekkel, mert minden adott hozzá;

V = r^2 * π * M

A = r^2 * π + r * π * a

A kiterített palást kiszámítása egy kicsit nehezebb, de nem sokkal; tudjuk, hogy a kiterített palást egy körcikk, melynek sugara a kúp alkotója, vagyis 5 hosszú, köríve megegyezik a kúp alapkörével (mivel pontosan illeszkedik), annak hossza 2*5*π, vagyis 10π hosszú.

A körcikk körívének hossza a következő képlettel számolható:

i = 2 * R * π * α / 360°, ahol az α a körcikk középponti szöge fokban (és dierkt írtam R-et, hogy ne keverjük a másikkal). Behelyettesítünk:

10π = 2 * 10 * π * α / 360°, rendezés után:

180° = α, vagyis a palást középponti szöge 180° (vagyis a palást egy félkör).

Ez biztosan annyi, mert ezt érdekességképpen szokták tanítani. Illetve azt, hogy ha a palást félkör, akkor (és csak akkor) az alaplapra merőleges fősíkmetszet (amikor függőlegesen félbevágjuk, és az ezután keletkező vágási felület) egy szabályos háromszög lesz.