Valaki légyszi...Hogyan tudom eldönteni mit is kell alkalmazni kombinatorikában? Bele szoktam kavarodni a feladatoknál :c

Az ismétlésest gondolom meg tudod különböztetni az ismétlésestől.

Permutáció: amit megadnak, azokat mind fel kell használni annyiszor, ahányan vannak.

Kombináció: a sorrend nem számít.

Ha a fentiek közül egyik sem igaz a konkrét feladatra, akkor az variáció lesz.

De önmagukban a képleteket sokszor nem tudjuk használni; sok esetben esetszétválasztásra van szükség, amire már tudjuk használni a képleteket.

Ha írsz példákat, amik nem mentek, úgy egyszerűbb magyarázni.

Permutáció: adott elemek sorrendjét változtatjuk. Pl. megkeverjük a kártyalapokat.

Ismétléses: vannak egyforma elemek is.

Kombináció: Elemek csoportjából kiválasztunk néhányat. A sorrend mindegy. Csak az a lényeg, hogy milyen elemeink vannak. Pl. egy boltban található árukból kiválasztunk 5-öt. Nem számít, milyen sorrendben, az a lényeg, hogy mit vettünk.

Ismétléses: Ha csak feljegyezzük, hogy milyen elemet húzunk és a következő húzás előtt visszarakjuk.

Variáció: Egyesével választunk az elemek közül és a kihúzás sorrendje is számít. Pl. egy versenyben kiválasztjuk az első, második és harmadik helyezettet.

Ismétléses: a kihúzott elemet csak feljegyezzük és a következő húzás előtt visszarakjuk.

Röviden:

permutáció: kártyakeverés

kombináció: bevásárlás

variáció: helyezettek a versenyen.

a) Ez kétféleképpen is számolható;

1) lehetőség: a párokat képzeletben "összekötözzük", így 5 dolgot kell egymás mellé felsorakoztatnunk, erre 5*4*3*2*1=120 lehetőségünk volt (ismétlés nélküli permutáció). Itt viszont van egy kicsi turpisság a feladatban (és bevallom, nekem sem esett le elsőre); ebben a számításban az EREDETI cipősorrend is szerepel, tehát le kell vonnunk 1-et, különben a csíny nem tudott volna megszületni, tehát 119 lehetőséget tudunk megszámolni.

2) lehetőség: úgy is keverhette a cipőket, hogy egyesével letette, de ügyelt arra, hogy a párok együtt maradjanak, és a "jó" sorrend is megmaradjon. Elsőre 5 cipőt tehetett le, mellé csak a párját, utána 4 cipőt tehetett le, aztán amellé csak a párját, és így tovább, végül ezt a szorzatot kapjuk: 5*1*4*1*3*1*2*1*1*1 = 120. Ebben az esetben ismétlés nélküli variációként számoltunk úgy, hogy voltak más megkötések is. Persze itt is igaz az, hogy az eredetit is megszámoltuk, tehát kell a -1.

b) Itt is lehet kétféleképpen számolni;

1) lehetőség: ha felhasználjuk az előbbi feladat eredményeit, akkor minden párnál döntenie kellett, hogy cserél-e a párokon vagy nem, ezt 2*2*2*2*2=32-féleképpen tudta eldönteni. Ezt még megszorozzuk az előbbi eredménnyel, így 120*32=3840-et kapunk. Ebben a megoldási módban vegyítettük az ismétlés nélküli permutáció a variációval. Illetve ha mindenképp kevert a korábbi sorrenden, akkor a "nem csinált semmit" nem opció, azt az 1 lehetőséget le kell vonnunk, tehát 3839-et kapunk. Ha viszont az eggyel előtte lévő (eredeti) sort sem engedjük meg a csere utánra, akkor még egyet le kell vonnunk.

2) lehetőség: újból leteheti egyesével is a cipőket; elsőre bármelyiket (10), mellé csak a párját, utána megint bármelyiket (8), utána csak a párját, és így tovább. Az eredmény: 10*1*8*1*6*1*4*1*2*1 = 3840, itt csak ismétlés nélküli variáció volt extra megkötéssel. Viszont ha az előbbi sorrend jön ki, akkor megint "fölöslegesen dolgozott", ezért az az egy esetet levonjuk, tehát 3839 jött ki. Illetve még egyszer 1 levonható, hogyha az eredetit sem engedjük meg.

c) Itt pedig csak simán 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 10!. Illetve ha "korábbi" cipősorokat nem engedünk meg, akkor még 3-t levonunk, de ha csak az 1-gyel előtte lévő sorral nem egyezhet, akkor csak 1-et.

2. Ennél is lehet kétféleképpen számolni;

1) lehetőség: ahogy az előbb csináltuk, "összekötjük" őket, ekkor 5 helyett 4 dolgot kell egymás mellé tennünk, ez 4!=24. A madár és az ember sorrendje felcserélhető, tehát az eredményt még megszorozzuk 2-vel, így 2*4!=48-at kapunk eredményül.

2) lehetőség: először letesszük valahova a két élőlényes bélyeget, aztán megnézzük, hogy mit tudunk csinálni;

1. eset: M E _ _ _, a három vonalra a maradékot 3*2*1=6-féleképpen tudjuk elhelyezni.

2. eset: _ M E _ _, a három vonalra szintén 3*2*1=6 lehetőségünk van.

3. eset: _ _ M E _, itt is 3*2*1=6 jön ki.

Azt láthatjuk, hogy mindegy, hogy hova tesszük az első kettőt, a megmaradt helyekre mindig 6 lehetőségünk van. Az esetekben kapott ereményeket a végén össze kell adnunk, így már csak az a kérdés, hogy hány 6-ost kell összeadnunk, vagyis hány esetet tudunk megkülönböztetni. Mivel nincs sok lehetőség, meg is lehet gondolni; ha az M-et tesszük előre, akkor az M-et 4 helyre tudjuk letenni, ha az E-t tesszük előre, akkor azt is, tehát összesen 8 lehetőségünk van. 8*6 = 48

Tanulság: nem szabad görcsösen ragaszkodni a képletekhez, hanem megfelelő esetszétválasztást kell választani, amikben könnyedén tudunk számolni az alapképletekkel/alapelgondolásokkal.

"Vendéglátónk szokásos tréfás kedvében az este során többször is összecserélte a cipőket:

a) először a jobb-bal párokat ebben a sorban megtartva;"

Megfogott egy-egy cipőpárt és átrakosgatta őket. A sorrendjüket összekeverte: permutáció.

"b) aztán a párokat együtt tartva, de a jobb-bal sorrendet nem feltétlenül;"

A 'bal-jobb' és 'jobb-bal' 2 elemet tartalmazó halmazból kiválasztott 5-öt és páron belül eszerint rakta át a cipőket. A sorrend is számított és az ismétlés megengedett: ismétléses variáció.

A cipőket egyesével tekintve a kialakított sorrendek száma a) és b) szorzata.

"c) végül a párokra tekintet nélkül az összeset."

A 10 cipő permutációja.

"2.Peti öccsének van egy-egy kör, háromszög, négyszög, ember és madár formájú bélyegzője. Úgy nyomta a papírra sorban őket, hogy a két élőlény egymás mellé került. Hány különböző ilyen bélyegzést készíthet még az előző alá?"

A két élőlény bélyegzője mindig együtt mozog, ezért ez 4 elem ismétlés nélküli permutációja. Utána a két élőlény sorrendjét még lehet változtatni: 2 elem ismétlés nélküli permutációja. A végeredmény a két permutáció eredményeinek szorzata.