Mennyi kamat mellett lesz havi 15.000 Ft befizetes 30 év múlva 15 millió Ft?

"#7 6%-kal kiszamoltam az nem 15 M-ra jön ki hanem több"

Pedig tényleg annyi.

Aki lepontozta a 2-es válaszomat, igazán elmondhatná, hogy mi a problémája... Megadtam a képletet, amivel lehet számolni, más kérdés, hogy egzaktul az egyenlet nem megoldható.

Akkor nézzük: a képletet egyenlővé tesszük 15.000.000-val:

15.000.000 = 180.000*(1+p/100)*((1+p/100)^30 - 1)/(1+p/100 -1), a nevezőben máris látjuk, hogy a két 1-es kiüti egymást:

15.000.000 = 180.000*(1+p/100)*((1+p/100)^30 - 1)/(p/100), szorozva a p/100 reciprokával:

15.000.000 = 18.000.000*(1+p/100)*((1+p/100)^30 - 1)/p, osztunk 18.000.000-val:

0,8333 = (1+p/100)*((1+p/100)^30 - 1)/p

Mivel p pozitív, ezért nyilvánvaló okokból a bal oldali kifejezés egy szigorúan monoton nővő függvényt takar (alapvetően ez ránézésre nem lenne annyira egyszerű, de más eszközökkel (például deriválással) is meg lehet ezt határozni), emiatt csak egy megoldása lesz, így pedig tudjuk használni a Newton-iterációt. Ennek a lényege, hogy kiválasztunk két értéket úgy, hogy az egyikre kisebb, a másikra nagyobb értéket kapjunk a 0,8333-nál. Például p=1-re az érték 0,35, p=10-re 1,81. Tehát az biztos, hogy a keresett szám 1 és 10 közé esik.

Ezután megtesszük azt, hogy a két szám között félúton található számot választjuk ki, ami az 5,5m és ezt írjuk be p helyére, ekkor az eredmény: 0,76. Mivel ez kisebb, mint a 0,8333, ezért azt tudjuk, hogy az 5,5 és a 10 között kell, hogy legyen a megoldás. Ezektől egyenlő távolságra a 7,75 szám áll, és most ezt írjuk be p helyére, és az eredmény: 1,17, ami több, mint a 0,8333, tehát az 5,5 és a 7,75 között kell, hogy legyen az eredmény.

Ezt addig folytathatjuk, amíg nem jutunk kellő közelségbe a 0,8333-hoz. Egyébként ha a többiek által írt 6-ot írjuk be p helyére, akkor az eredményül 0,838 lesz, ami relatíve közel van hozzá, de több, tehát az eredmény megoldása valahol 5,5 és 6 között van biztosan. Ha az eredetibe írjuk be, akkor 15.084.301 forintot kapunk, ami valóban több, mint 15 millió, viszont nagyságrendileg kevesebb, mint 1% a különbség.

"tehát az eredmény megoldása valahol 5,5 és 6 között van biztosan"

Fogd már fel, hogy 6,13 körül van, ahogy jól leírták előtted.

Leírta a képletet is hozzá.

Kár ezt ragoznod. Úgy szokás számolni ennyi.

En azert iteltem csak felig hasznosnak a 2es valaszt mert a szamszeru eredmeny sem derul ki belole meg az sem hogy hogy jon ki a keplet.

De egyebkent minden valasz le lett szavazva ami nem trollkodas, szoval ne vedd magadra :)

"Fogd már fel, hogy 6,13 körül van, ahogy jól leírták előtted."

Nehéz felfogni azt, ami nem igaz...

"Leírta a képletet is hozzá."

És abba a képletbe hogyan kell behelyettesíteni? Mert nekem a 6,13-ra sehogy nem jön ki a 15 millió...

"Kár ezt ragoznod. Úgy szokás számolni ennyi."

Annyira nem értek hozzá, de a megadott képlet a hitel utáni törlesztéssel számol, viszont itt nem erről van szó, hanem arról, hogy beteszünk pénzt, és az kamatozik. Olyan meg nincs, hogy "úgy szokás számolni"... Minden képlet mögött van egy gondolatmenet.

"De egyebkent minden valasz le lett szavazva ami nem trollkodas, szoval ne vedd magadra :)"

Nem veszem magamra, csak nagyon tud irritálni, amikor valaki annyira nem veszi a fáradságot, hogy leírja, mi szerinte a probléma az általam leírtakban, és csak szimplán lepontoz...

"En azert iteltem csak felig hasznosnak a 2es valaszt mert a szamszeru eredmeny sem derul ki belole meg az sem hogy hogy jon ki a keplet."

Egyrészt azért nem írtam le konkrétan a megoldást, mert egyesek előszeretettel sipítoznak az oldalon, hogy miért vezetjük le az egész feladatot.

Másrészt nem volt időm jobban kifejteni, de egy elindulást adtam a képlettel.

Amit használtam, az megtalálható a fehér függvénytáblázat 22. oldalán:

Az A járadéknak az n-edik év végére felnövekedett értéke, ha a befizetés minden év elején esedékes (ezt a részt úgy kell érteni, hogy kamatozás előtt fizetjük be mindig az A járadékot):

S(n) = a*q*(q^n-1)/(q-1), ahol a q azt jelenti, hogy az összeg a kamatozás során hányszorosára növekszik. Mivel a növekedés mértéke megadható (1 + p/100)-zal, ezért mindenhol a q helyére beírható ez az (1 + p/100), és így kaptuk azt a képletet, amit leírtam.

Hogy ez a képlet hogyan születik; először is tudjuk, hogy kamatos kamat esetén, ha az összeget nem toldjuk meg, akkor az összegek egy mértani sorozatot alkotnak, és ennek a sorozatnak a kvóciensét jelöljük q-val (ami kamatos kamat esetén = 1 + p/100). Tehát így változnak az összegek: A, A*q, A*q^2, A*q^3, stb.

A következő lépcsőfok az, amikor ezt az A-t hozzáadjuk minden kamatozás előtt az aktuális összeghez. Itt van egy trükk, amit érdemes tudni; ha az összeget nem ugyanarra a számlára tesszük, és úgy kamatoztatjuk, hanem két/több külön számlára, akkor a számlák összege ugyanannyi lesz, mintha mindig csak 1 számlára fizetnénk be. Például nézzük meg, hogy a 15.000 forint 2%-os kamattal mennyi lesz két év múlva a két esetben:

1. eset: Egy számlára gyűjtjük;

1 év múlva: 15000 + (15000*2/100) = 15300

2 év múlva: kamatozás előtt hozzáadunk 15000-et, kamatozás után: 30300 + (30300*2/100) = 30906.

2. eset: Két számlán gyűjtjük:

Első számla: két év alatt kétszer kamatozik kamatos kamattal: 15000*(1+2/100)^2 = 15606

Második számla: egyszer kamatozik: 15000 * (1+2/100) = 15300

Ha a kettőt összeadjuk, akkor 30606-ot kapunk, mint az első esetben.

Tehát mindegy, hogy hány számlán gyűjtjük az összegeket, a teljes vagyon mindig ugyanannyi lesz.

Ez azért érdekes nekünk, mert ezeken a részszámlákon az összegek egy mértani sorozatot alkotnak, amit össze tudunk vonni;

Első számlán lévő pénz n kamatozás után: A*q^n

Második számlán lévő pénz (n-1) kamatozás után: A*q^(n-1)

Harmadik számlán lévő pénz (n-2) kamatozás után: A*(n-2)

.

.

.

n-edik számlán lévő pénz 1 kamatozás után: A*q

Látható, hogy az összegek egy olyan mértani sorozatot alkotnak, ahol az első tag a(1)=A*q, a kvóciens q=q és n=n darab számla van, így a mértani sorozat összegképletével ezt a képletet kapjuk a konkrét problémára:

S(n) = A*q*(q^n-1)/(q-1)

És mivel az összegek mindig (1 + p/100)-szorosra nőnek, ezért q=(1 + p/100), tehát erre le lehet cserélni a képletben q értékét.

A konkrét feladatnál pedig behelyettesítés után ezt kapjuk:

15.000.000 = 180.000*(1+p/100)*((1+p/100)^30 - 1)/(1 + p/100 - 1), és ennek az egyenletnek keressük a megoldását. A WolframAlpha szerint:

[link]

Tehát egészen pontosan 5,97%-ra kell betennünk a pénzünket, hogy meglegyen a közel 15.000.000 forint a számlán. De ha p-re egész megoldást keresünk, akkor a p=6 jöhet számításba.