Matek bizonyítás (egyetemi matek szak)?
a kérdés, hogy tetszőlegesen választott 3 pozitív valós szám, összes formában felírt törtjének számtani közepe mindig nagyobb lesz 1nél?
pl első elem: 2, második: 3, negyedik: 4
akkor a felírható törtek 2/3, 2/4, 3/2, 3/4, 4/2, 4/3. szóval 6 darab törtet lehet belőlük írni. na ezek átlaga nagyobb lesz 1nél? szerintem igaznak kell lennie, csak nem tudom, hogyan bizonyítsam.
válasza: válasza:
válasza:Én csak egy ostoba kamionsofőr vagyok, nyolc általánossal, de nekem is logikus hogy a kettő (4/2) és a fél (2/4)átlaga több egynél (1.25). Ugyanígy van ez a másik két törtpár esetében is.
Meg akárhány ilyen párt irsz fel, mindig így lesz
válasza:add össze és vond ki...
:$
Most lehet, hogy hülyeséget mondtam 8.-os fejjel, de nekem ez a legcélszerűbb...
válasza:Legyen
n - darab szám
akkor a belőlük képezhető törtek száma
n²
3 szám esetén a törtek a következők lesznek:
a1/a1, a1/a2, a1/a3, a2/a1, a2/a2, a2/a3, a3/a1, a3/a2, a3/a3
A számok összege
Sn = a1 + a2 + a3 +...+an
A törtek összege (levezetés nélkül)
Tn = Sn(1/a1 + 1/a2 + 1/a3 +...+1/an)
Legyen reciprok összeg
Rn = 1/a1 + 1/a2 + 1/a3 +...+1/an
így a törtek összege
Tn = Sn*Rn
Így a törtek összegének számtani középe
TA(a1, ...an) = Tn/n² = (Sn*Rn)/n²
TA(a1, ...an) = (Sn*Rn)/n²
Ez így is írható:
TA(a1, ...an) = (Sn/n)/(n/Rn)
ahol
Sn/n = A(a1, ...an) - az 'n' darab szám számtani közepe
az
n/Rn = H(a1, ...an) - ez pedig ugyanazon 'n' darab szám harmonikus közepe
Tehát
TA(a1, ...an) = A(a1, ...an)/H(a1, ...an)
Mivel
A(a1, ...an) > H(a1, ...an) egyenlőtlenség mindíg fennáll
Ezért
TA(a1, ...an) > 1
==============
Q.E.D
DeeDee
************
utolsónak: köszi, de te bele számoltad az 1 egészeket is. azok nekem nincsenek benne!! szóva az a1/a1, a2/a2 és az a3/a3.
írtam, hogy csak 6 van. de végülis ez ugye nem is jelent problémát, mert az úgyis mindíg 1 egész, így az egész aritmetikai közepét nem tudja 1-nél lejebb vinni. szóval akár ki is hagyhatjuk és akkor okés minden, amit írtál.
én most azon gondolkoztam, hogy ha párokba állítom, pl a1/a2 + a2/a1 ezek összege ugye mindig nagyobb mint 2. ez alapján a 3 páros összege mindig nagyobb mint 6. ezért pedig az aritmetikai közép nagyobb 1nél. ez kicsit autodidakta gondolkozásmód, de így is elfogadható bizonyításnak szerintem. mert ha az elemek mondjuk kisebbek 1nél, akkor is amikor a nevezőbe kerül az "felszorozza" az egész tört értékét, szóval a párok összege mindig nagyobb lesz 2nél.
nekem eredetileg nem ez volt a problémám, egy bonyolultabb dolgot kell bizonyítanom, csak arra jutottam, hogy ha az igaz, amit a kérdésben írtam, akkor az eleje is igaz.
mégegyszer kösz, hogy gondolkoztál rajta.
ha belekötnek az én módszerembe, akkor megpróbálom kikozmetikázni a tiédből azt a 3 elemet. :-)
válasza:Két megjegyzésem volna.
- "...3 pozitív valós szám, ÖSSZES FORMÁBAN FELÍRT törtjének ..."
Ezen megfogalmazás szerint az a1/a1, a2/a2 és az a3/a3 értékek is beletartoznak a törtek halmazába.
A levezetés során ezek ugyan kiesnek, de törtek elemszáma ettől nem változik, az mindig n².
- Értem a gondolatmenetedet, csak hiányzik a "a1/a2 + a2/a1... összege ugye mindig nagyobb mint 2" kijelentés bizonyítása.
Újra átnéztem a bizonyításomat, s úgy gondolom, hogy korrekt, és nemcsak 3 elemre érvényes. Lehet, hogy egy igazi matematikus találna benne hibát, de magamat meggyőztem a helyességéről. :-) Egyébként mindig is szerettem egy problémát a lehető legáltalánosabb formában megoldani, és nemcsak egy esetet kiszámolni.
Végül is köszi a kérdést, jó agytorna volt a megválaszolása.
Ha nem nagy kérés, írd meg, hogyan minősítették a megoldásokat.
DeeDee
***********
U.i.:
A levezetés három szám esetén következő:
a1, a2, a3 - a számok
A törtek összege
Tn = a1/a1 + a1/a2 + a1/a3 + a2/a1 + a2/a2 + a2/a3 + a3/a1 + a3/a2 + a3/a3
Tn = 3 + a1/a2 + a1/a3 + a2/a1 + a2/a3 + a3/a1 + a3/a2
Az azonos nevezőjűeket összevonva
Tn = 3 + (a2 + a3)/a1 + (a1 + a3)/a2 + (a1 + a2)/a3
Mivel Sn = a1 + a2 + a3
a2 + a3 = Sn - a1
a1 + a3 = Sn - a2
a1 + a2 = Sn - a3
Így
Tn = 3 + (Sn - a1)/a1 + (Sn - a2)/a2 + (Sn - a3)/a3
Az osztások után
Tn = 3 + Sn/a1 - 1 + Sn/a2 -1 + Sn/a3 - 1)
Kiemeléssel
Tn = 3 - 3 + Sn(1/a1 + 1/a2 + 1/a3)
Tn = Sn(1/a1 + 1/a2 + 1/a3)
Rn = 1/a1 + 1/a2 + 1/a3
helyettesítéssel
Tn = Rn*Sn
Innen már az előző válaszomban leírtak szerint folytatódik.
*********************
utolsónak:
de nem ez a probléma. mondom, igazából nekem nem ez volt a bizonyítandóm. a mondatot csak én fogalmaztam meg (kissé hülyén). nem az a gond a módszereddel, hogy n elemre írtad, hanem hogy benne vannak az 1 egészet érő törtek. mert ha n elemre igaz, akkor nyilván 3ra is az. a gond az, hogy nálam az a1/a1, a2/a2 ... an/an nincsenek benne!!!! ez "elrontja" a bizonyításodat. ezért is írtam a példát, hogy jelent esetben, nekem nem nnégyzet darab törtem lesz, hanem csak n*(n-1) darab!!
de egyébként kegyetlen jó bizonyítás volt, egyszerű, érthető és beleköthetetlen. hányadéves vagy?
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!