Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával hány olyan szám alkotható, amelyben a páratlan-páros jegyek felváltva követik egymást és az egymás melletti jegyek különbsége legalább 2?

Az nyilvánvaló, hogy a szám páratlanul kell, hogy kezdődjön, hogyha mindegyik számjegyet felhasználjuk.

Ágrajzzal könnyedén össze lehet szedni a lehetőségeket. Mivel tulajdonságait tekintve az 1 megegyezik a 9-cel, a 3 pedig a 7-tel, ezért elég csak 3 ágrajzot készítenünk, ami az 1-gyel, a 3-mal és az 5-tel kezdődő számokat szedi össze.

Ha nem kell feltétlenül az összes számot felhasználnunk, akkor a kevesebb számjegyet tartalmazó esetek is kiolvashatóak az ágrajzból, viszont a párosakkal kezdődőeknek is kell rajzolnunk ágrajzot, ekkor a 2-es tulajdonságban megegezik a 8-assal, a 4-es pedig a 6-ossal.

Kíváncsiságból megcsináltam az 1-gyel kezdődők ágrajzát, aszerint 10 megoldás jött ki a 9-jegyű számokra.

Tisztán kombinatorikai megoldást nem látok, de még fogok gondolkozni.

5 helyünk van a páratlan számoknak (n) és 4 a párosaknak (s).

nsnsnsnsn

Először nézzük azokat az eseteket, amikor 4 és 6 között pontosan 1 páros hely van:

n4nsn6nsn - ilyenből 4 van. A lehetséges elrendezések számát majd 4-gyel kell szorozni.

n4nsn6ns5 - az 5-ös helye kötött

n4n8n6n25 vagy n4n2n6n85 - a maradék két páros hely betöltése.

n4n836n25 vagy n4n2n6385 - egyetlen helyre mehet a 3-as

741836n25 vagy 1472n6385 - egyetlen helyre mehet a 7-es és az 1-es

741836925 vagy 147296385 - és végül a 9-es

Tehát 8 olyan szám van, ahol a 4 és a 6 között pontosan 1 páros hely van.

Lehetnek még olyan számok ahol a 4-es és a 6-os között 2 páros hely van: n4nsnsn6n. Ilyen elrendezésből kettő létezik és a továbbiakban a párosok helye 2 féle: n4n2n8n6n vagy n4n8n2n6n.

És lehetnek olyan számok, ahol a 4-es és 6-os között nincs páros hely és szélen vannak: n4n6nsnsn.

Lehetnek olyan számok, ahol a 4-es és 6-os között nincs páros hely és nem szélen vannak: nsn4n6nsn.

Amit nem számoltam ki, azokból a tipusokból lehetne ágrajzot csinálni, ahogy én "okoskodtam" végig fentebb.

Egyáltalán nem elegáns, de megvalósítható.

Ha gráfként felrajzoljuk a számokat, akkor gyakorlatilag Hamilton-utakat keresünk a gráfban. Érdemes észrevenni azt, hogy a 3;5;7 számokból csak két-két számhoz tudunk élt húzni a gráfban. Ez azért fontos, mert ha ezek a számok a 9-jegyű számon belül vannak, akkor a számok felírására csak egy (illetve kettő) lehetőségünk van, hogy ezeken a számokon át tudjunk haladni. Például a 3-as valahol a számon belül van, akkor kötelező jelleggel meg kell jelennie a 638 vagy a 863 számsornak.

Mivel minden számnak két vége van, és 5 páratlan számunk van, ezért 5*4=20 esetet tudunk aszerint megkülönböztetni, hogy mely páratlan számok kerülnek a szám két végére, azonban a szimmetria miatt elég csak 10 esetet megvizsgálni, mert az adott eset "párjában" lévő számokat úgy kapjuk, hogy fordítva leírjuk az összes számjegyet (például az 1-9 végződésű számok száma megegyezik a 9-1 végződésű számokéval).

Maradva az 1-9 végződésű számoknál, azt kapjuk, hogy a 3;5;7 számok mindegyike a számon belül van, ezért a 4715836 számsornak (vagy fordítva) kötelezően meg kell jelennie a számon belül, az 1 és a 9 bármelyik végéhez hozzáírható, így ebben az esetben 4 (illetve 2+2) számot tudunk megszámolni.

Ha például a 3-at és a 9-et akarjuk a szám két végére írni, akkor a 85274 (vagy fordítva) számsornak kell megjelennie a számon belül, ezt 2 helyre tudjuk betenni, ezen kívül a 6-os helye még fix, és az 1-esnek és a 3-asnak kell még helyet keresni.

És így tovább, szépen fel lehet írni az eseteket.

Persze ez is időigényes, és nem túl szép.

Annyira komplex ez a feladat, hogy szerintem nincs kombinatorikailag szép megoldása, vagyis amikor csak simán számolunk.

Illetve újra a szimmetriára hivatkozva ezen a 10 eseten még tudunk faragni;

1-3 párja a 9-7

1-5 párja a 9-5

1-7 párja a 9-3

1-9-nek nincs párja (a 9-1 lenne, de azt itt most külön nem írjuk le megint)

3-5 párja a 7-5

3-7-nek nincs párja (illetve itt is önmaga)

Tehát 4 esetben az eredményt elég 4-gyel szorozni, a másik 2 esetben pedig 2-vel.

Szerintem a páros számokból kellene kiindulni. Mert azokból csak 4 van. 24 sorrend.

Ezek közül 2-2 nagyságra szimmetrikus. Vagyis elegendő a 2-vel és 4-gyel kezdődőeket nézni.

És 2-2 térben szimmetrikus. Nem kell a 2-re és 4-re végződőeket figyelembevenni. Csak majd szorozni kell a részeredményeket.

A páros számok sorrendje:

2468

2486

2648

2846

4268

4286

4628

4826

És ha a párosak helye ismert, akkor a páratlanokat korlátozottan lehet elhelyezni. Pl. két nem egymást követő páros közé csak egy bizonyos páratlan szám kerülhet. Úgy értem, hogy pl. a 2 6 közé csak a 9-es. A felsorolt páros sorrendeket pl. lehet úgy csoportosítani, hogy hány olyan hely van, amit nem egymást követő párosok fognak közre. Es ezekben a csoprtokban vizsgálni, hogy hányféle páratlan sorrend megengedett.

Itt most pihenek egy kicsit vagy átadom másnak a terepet.