Hogyan lehet ezeket a feladatokat megoldani?

A körcikk középponti szögére úgy érdemes tekinteni, mint amikor felvágunk egy kör alakú tortát egyenlő részekre, akkor a kört egyenlő körívekre, egyenlő területekre és egyenlő középponti szögekre vágjuk fel. Például ha a kört 5 egyenlő részre vágjuk, akkor a középponti szög 360°/5=72°-osak lesznek. Az ide tartozó képlet is ezen elgondolás alapján született; ha felvágjuk képzeletben 360 egyenlő részre a kört, akkor 1°-os körcikkeket kapunk, ezekből megfelelő számút összeolvasztva pedig azok középponti szögei és körívei is összeolvadnak, vagyis annyiszorosára nő, ahányat vettünk belőlük. Ezt az is jelenti, hogy az adatok közti összefüggés követi az egyenes arányosság elvét, vagyis ha az egyik valahányszorosára változik, akkor a másik is.

2) A teljes kör 2*5*3,14=31,4 cm hosszúságú lenne. Ha ezt felvágjuk 314 egyenlő részre, akkor a körívek hossza 0,1 hosszúságú lesz, a középponti szögek is ennyi egyenlő részre osztódnak fel, tehát egy ilyen körcikk középponti szöge (360/314)°-os lesz. Ha ezekből veszünk 250 darabot, akkor meglesz a keresett 25 cm-es körívhossz, viszont a szögek is összeadódnak, tehát 250*(360/314)=~286,62°-os lesz.

Definíció szerint, 1 radián nagyságú annak a körcikknek a középponti szöge, amelynek körívének hossza megegyezik a sugarával, vagyis ha az 5 cm sugarú körcikkhez 5 cm-es körív tartozik, akkor a középponti szöge 1 radián. Mivel most 25 cm-es a körívhossz, és ez pont ötször akkora, mint az 5 cm, ezért a keresett érték 5 radián lesz. Általánosságban pedig a szög radiánértékét úgy kapjuk, hogy a körívet elosztjuk a sugárral, így 25/5 = 5 radiánt kapunk, mint az előbb.

Ellenőrzésként érdemes megnézni, hogy a 286,62°-os szög megegyezik-e az 5 radiánnal. Azt kell tudnunk, hogy 360°=2*pi radián, és itt is működik az egyenes arányosság elve;

360°=2*pi radián, vagyis

360°=6,28 radián, osztunk 6,28-dal:

~57,32°=1 radián, szorzunk 5-tel:

~286,6°=5 radián, a kerekítések miatt van egy minimális eltérés.

1) Ennél már érdemes használni a szükséges képleteket; tegyük fel, hogy a körcikk sugara r, középponti szöge x, ekkor ezt a két egyenletet tudjuk felírni:

Körcikk hossza: 2*r*pi*(x/360°) = 13,85

Körcikk területe: r^2*pi*(x/360°) = 32

Most megtehetjük azt, hogy ezt a két egyenletet elosztjuk egymással, ekkor ezt kapjuk:

r/2 = 2,31, vagyis r = 4,62, tehát a körcikk sugara 2,31 cm hosszú. Ha a pontos eredménnyel szeretnénk számolni, akkor:

r/2 = 32/13,85, innen pedig r= 64/13,85 = 6400/1385 = 1280/277. Innen egyszerű visszahelyettesítéssel megkapjuk a középponti szöget fokban, radiánban pedig számolhatunk úgy, ahogy az előbb említettem, vagyis osszuk el a körívet a sugárral, így kapjuk meg a középponti szöget radiánban.