Számtani, mértani sorozat? Sos

10^x=100.

Ha mindkét oldal pozitív, akkor mindkét oldalnak a logaritmusát kell venni. Ezt azért lehet megtenni, mert a pozitív alapú hatványfüggvény szigorúan monoton, vagyis az értéke akkor és csak akkor egyenlő, ha a kitevő is egyenlő.

lg(10^x)=x

lg(100)=2

x=2

Ja, hogy sorozatokkal kapcsolatban?

Milyen számtani sorozatnak felel meg az a_n=a₀q^n mértani sorozat logaritmusa?

log(a₀q^n)=log(a₀)+n*log(q)

A számtani sorozat első tagja: b₀=log(a₀)

A differencia: d=log(q)

Ahogy a második válaszoló rámutatott, a számtani sorozat esetén csak úgy tud előjönni a logaritmus, hogyha alapból logaritmus van a feladatban, ez a logaritmus azonosságaiból jön ki. Ilyen esetben gyakorlatilag a számtani sorozatból a számítások során mértani sorozat lesz. Például:

A számtani sorozat első tagja lg(5), differenciája lg(3). Hányadik tagja a sorozatnak az lg(405)?

Felírjuk a tagképletet:

lg(405) = lg(5) + (n-1)*lg(3), innen egyszerű rendezéssel:

( ( lg(405)-lg(5) ) / lg(3) ) + 1 = n

Ha van okosabb számológépünk, akkor az egészet beírva rögtön kiadja az eredményt, egyébként pedig aa logaritmus azonosságaival lehet a pontos eredményt meghatározni: n=4.

Alapvetően mindig csak az n meghatározásához kellhet a logaritmus, ami pedig mindig egész, tehát ha konkrét tag sorszámára kérdezünk rá, akkor nem kell a logaritmus, mert azt az exponenciális egyenletekre vonatkozó lépésekkel tudjuk a legegyszerűbben megoldani. Ha olyan kérdést teszünk fel, hogy mikor lépi át egy szorozat a 100-at (vagyis mikor lesz egy sorozat első tagja 100 vagy több), akkor már kellhet a logaritmus; mértani sorozatban:

a(1)=2, q=3, ekkor az a kérdés, hogy mikor leszünk 100 fölött, ekkor a tagképletet egyenlőtlenséggel írjuk fel:

100 <= 2 * 3^(n-1), osztunk 2-vel:

50 <= 3^(n-1), vesszük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát (ha okosabb számológéped van, ami tud bármilyen logaritmusalappal számolni, akkor bármilyen (kikötésnek megfelelő) 1-nél nagyobb alappal lehet gond nélkül számolni, de a kevésbé okosabb számológépeken csak 10-es (és e) alapú logaritmus van):

lg(50) <= lg( 3^(n-1) ), használva az azonosságokat:

lg(50) <= (n-1)*lg(3), rendezés után:

lg(50)/lg(3) + 1 <= n, a bal oldalt számológéppel kiszámoljuk:

4,56 <= n, tehát ha minden igaz, akkor a sorozat 5. tagja lesz 100-nál nagyobb.

Ha menet közben kiszámoltuk volna a logaritmusokat, akkor kerekítenünk kellett volna, és minél többet számolunk kerekített értékekkel, annál jobban torzulhat a végeremény. Ezért az ellenőrzés úgy megy, hogy kiszámoljuk a kapott eredményre a sorozat tagját, de az 1-gyel előtte lévő tagot is meg kell néznünk, hogy az valóban kisebb-e 100-nál;

ötödik tag: 2 * 3^4 = 162, ez nagyobb 100-nál

negyedik tag: 2 * 3^3 = 81, ez kisebb.

Tehát valóban, az első tag, ami 100-on felül van, az az ötödik tag.