Hogyan lehet 2 körre egy egyenes érintőt szerkeszteni?

Eddig itt találtam anyagot a legrészletesebben a szerkesztésről:

[link]

Most leírom úgy, ahogy az én fejemben megragadt. Persze nem ez a precíz bizonyítás, de így maradt meg a képzeletemben:

A feladat kétféleképp is megoldható:

[link]

a két érintő mindenképp a két kört összekötő egyenesen metszi egymást, de metszheti egymást a két kör középpontja közti szakaszon is, meg metszhetik egymást az egyenesnek ezen a szakaszon kívüli, ,,külső'' részén is-

Annak ellenére, hogy ,,fizikailag'' az érintők megtalálása nem látszik nehéznek (egy favonalszót szemre odacsusszantok körökhöz, hogy pont simuljon), de valójában a precíz matematikai szerkesztés nem is olyan könnyű.

Szerencsére van egy jólismert tétel, ami segít. A Thalesz-tételre gondolok. A Thalesz-tétel ugyan nem mondja meg, hogyan lehet két körhöz érintőt szerkeszteni, de legalább annyit mégis elárul a Thalesz-tétel, hogy lehet egy PONTHOZ meg egy körhöz érintőt szerkeszteni.

[link]

Mondhatnánk erre, hogy ugyan nem sokra megyünk ezzel. A feladat itt nem az, hogy PONTHOZ és körhöz szerkesszünk érintőt, hanem az, hogy KÉT KÖRHÖZ illesszünk érintőt. Látszólag semmit sem segít nekünk a Thalesz-tétel, a Thlaesz-tétel nyújtotta ,,szolgáltatásnak'' semmi köze ahhoz, ami itt a feladat -- gondolhatnánk.

Aztán mégiscsak eszükbe jut, hogy valami köze mégiscsak van a két dolognak egymáshoz. Hiszen végülis a pontra gondolhatunk úgy is, mint egy nagyon-nagyon picike körre. Ha a olyan szerencsénk lenne, hogy a feladatban megadott két kör közül az egyik nagyon-nagyon picike volna, akkor akár a Thalesz-tétellel akár kapásból meg is oldhatnánk a feladatot.

Sajnos azonban erre nem számíthatunk bizonyosan. Tipikusabb, hogy a két kör közül a kisebbik sem lesz olyan különösen kicsi a másikhoz képest.

Most jön az ötlet: hát ha a kisebbik kör nem elég kicsi, hát tegyük kicsivé mi magunk. Persze ezzel meghamisítjuk a feladatot, de ezen talán lehet segíteni. Mi lenne, ha jóvátennénk a bűnünket? Ahogy zsugorítjuk le a kisebbik kört pontnyi kicsinységűvé, rendre épp ugyanolyan mértékben vennénk el a másik, nagyobb körből is. Mintha a két kör valami kocsigumi lenne, és a kisebből minden levegőt kiengednénk, de igazságosan a nagyobból is kiengednénk UGYANANNYI levegőt. Eredményül a kis gumi teljesen semmivé lappadna, de a nagyobb gumi is valamivel kisebbé válna, még ha nem is tűnnék el teljesen (hisz neki eredetileg is ,,több tartaléka volt'').

Szóval a szerkesztés sémája az, hogy fogom a két ,,gumit'', egyiket ponttá ,,lappasztom'', a másikból is kiengedek ,,ugyanannyi levegőt''. Eredményül lesz egy pontom és egy köröm. Ponthoz és körhöz már könnyedén megszerkesztem az érintőket a Thalesz-tétel alapján. Utána mindent visszacsinálok: a pontba visszafújom a kiengedett levegőjét, és a másik körnek is visszaadom a kiengedett levegőt. Így visszakapom az eredeti köröket. Az érintőket persze elcsúsznak, de -- és ez a lényeg -- TELJESEN PÁRHUZAMOSAN CSÚSZNAK EL, szóval nem romlik el teljesen az addigi fáradságos munkám a ,,visszafújással''.

[link]

[link]

[link] _2

amit az első írt, az nem jó, próbáld csak ki két olyan körrel, amiknek nem ugyanakkora a sugara, mondjuk az egyik láthatóan nagyobb, mint a másik, ha erre kipróbálod, látni fogod, miért nem jó.

Segítség: Azt kell észrevenni, hogy ha mindkét kör sugarát ugyanannyival csökkentem, akkor az így kapott két kisebb kör közös közös érintő párhuzamos lesz az eredeti körök közös érintőjével (ezt könnyű belátni). Jelölje A a kisebbik kört, B a nagyobbikat, azt csináljuk, hogy mindkettő sugarát csökkentjük A sugarával, így A' és B'-t kapva. A' egy pont lesz, B' meg egy kör (ha ugyanakkora volt a két kör, akkor B' is pont lesz, de ez sehol nem fog gondot okozni). MOst A'-ből érintőt szerkesztesz B'-be, ez az érintő pedig a fenti meggondolás miatt párhuzamos lesz az A és B közös érintőjére. Ebből pedig már azt is meg tudod szerkeszteni könnyen.

Fontos, hogy a magyar jegyzet a BELSŐ ÉRINTŐPÁR szerkesztésmódját magyarázza, az én szemléltetésem pedig a KÜLSŐ ÉRINTŐPÁR szerkesztését tartotta szem előtt.

Az a különbség, hogy a külső érintőpár szerkesztésében ,,lappasztás'' (és visszafújás) szerepelt, de a BELSŐ ÉRINTŐPÁR érintőpár szerkesztése szinte pont fordított elv szerint történik. A kis gumit ott is kilappasztjuk, de a nagy gumit nem lappasztjuk vele együtt, épp fordítva, a kis gumiból kieresztett levegőt átfújjuk a nagyba, aszóval a nagyot még tovább is fújjuk.

Ezt azért csináljuk így, mert itt is az a fő szempont mindvégig, mint azelőbb, vagyis hogy a gumikkal való ,,buherálás'' és ,,hekkelgetés'' során azért ,,ne hamisítsuk meg'' az eredeti feladatot. Vagyis: az ,,megbuherált, ,,meghekkelt'', egyszerűsített feladat megoldása során kapott érintők értelmesen használhatók legyenek az eredeti, hekkeletlen-buherálatlan feladatra is (vagyis a fújogatás-eregetés során az érintők épp párhuzamosan csússzanak el, ne ferdüljenek el menet közben, ne menjenek csáléra).

Mindez persze amit itt elmondtam, nem maga a bizonyítás, csak afféle motiváció, indíték, szóval ez az elképzelés és szándék, ami irányítja a bizonyítás egyes lépéseit. Maguk a precíz matematikai bizonyítások a linkekben vannak leírva.

Meg van még a diszkusszió, az esetelemzés, az igazából mulatságos, mert itt már nem kell ,,számolni', csak végiggondolni az eseteket.

Például: ha a két kör épp ugyanakkora, akkor a külső érintőpár, szóval ők akkor pont párhuzamosak egymással (meg a két kör középpontját összekötő egyenessel is), és egyáltalán nem is metszik egymást.

A belső érintőpár ekkor is metszi egymást a közös egyenesen, egyébként ezesetben épp ,,félúton''

Még néhány ilyen mulatságos elfajult eset látható a magyar jegyzetben is néhány ábrán:

[link]

de vannak ezeknél vadabbak is, pl. ha a két kör közül a kicsi a nagyobbikban van, és még csak nem is érintkeznek, akkor nincsenek is érintőpárok.

Meg még az az érdekes, amikor a két kör érinti egymást. itt is érdemes külön-külön megnézni, hogy kívülről érintik-e egymást, vagy belülről.

Szóval efféle esetek végiggondolása a diszkusszió. Most nem gondoltam végig, szóval lehet hogy van még.

Sajnos nem találtam még olyan videót, ami egyben megmutatná.

A külső érintőpár és a belső érintőpár közti különbség itt látható:

http://www.youtube.com/watch?v=FmXxPMFifSs

A szerkeszéts egyes kezdeti lépései itt láthatóak:

http://www.youtube.com/watch?v=KEXFmNXVT2o

sajnos ezen a videón nem egészen erről van szó, ezért az itt bemutatottak csak a kezdeti lépések megértéséhez használhatóak. A Thalesz-körrel sajnos ez már nem foglakozik

A Thalesz-tétel alapján adott pontból lehet érintőt szerkeszteni adott körhöz. Erről külön itt látható videó:

http://www.youtube.com/watch?v=WHym_d8QrpU