Cos17°*sin73°+cos73°*sin17°= Hogyan is kell ezt megcsinálni?

Cos17=sin73

cos73=sin17

ebből indulj ki

Az eredmény meglepően ,,szép'':

cos 17° ⋅ sin 73° + cos 73° ⋅ sin 17° = 1

[link]

A kérdés persze az, hogy ,,mitől'':

Ha az addíciós tételeket már vettétek, akkor egyszerű a válasz:

sin (α + β) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β

tulajdonképpen majdnem ugyanolyan alakú, mint az Általad felírt képlet. A

cos 17° ⋅ sin 73° + cos 73° ⋅ sin 17°

képletet úgy is írhatnám, hogy

sin 73° ⋅ cos 17°+ sin 17° ⋅ cos 73°

Ha ezt összevetjük az előbb említett

sin (α + β) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β

azonossággal, akkor látható, hogy az itteni konkrét szóbanforgó számokra ez azt jelenti

sin (73° + 17°) = sin 73° ⋅ cos 17°+ sin 17° ⋅ cos 73°

sin (73° + 17°)-ről pedig tudjuk, mennyi: sin 90°, vagyis éppen 1.

Ha pedig még nem vettétek az addíciós képleteket, akkor valóban azt kell kihasználni, hogy a 73° és a 17° éppen derékszögre egészítik ki egymást, ezért

sin 73° = cos 17°

cos 73° = sin 17°

ezért aztán

cos 17° ⋅ sin 73° + cos 73° ⋅ sin 17° =

cos 17° ⋅ cos 17° + sin 17° ⋅ sin 17° =

(cos 17°)² + (sin 17°)²

A cos 17°-ra és a sin 17°-ra úgy is gondolhatok, mintha egy olyan derékszögű háromszög befogói lennének, amelynek az átfogója épp 1:

[link]

Ezért aztán a két befogó (cos 17° és sin 17°) négyzetének az összege éppen az átfogó (1) négyzete, vagyis 1², tehát 1.