Van olyan, amikor egy mértékegység egy másik mértékegység kitevőjében szerepel?

> #2

> Ilyen erővel szorozni se tudunk mértékegységgel, mert nem szám.

Érdekes kérdés, de tulajdonképpen nem is ilyen módon szorozzuk össze a mértékegységeket, illetve nem a mértékegységeket szorozzuk össze, hanem csak érzékeltetjük a tulajdonságok közötti összefüggések matematikai jellegzetességét a mértékegységekben is.

Egy testnek pl. van sebessége. Rendben, első blikkre adjunk neki egy önálló mértékegységet, mondjuk történelmi példát véve legyen a mértékegysége a csomó, aminek a rövidítése a kn. (Most tekintsünk el attól, hogy a csomó esetén hogyan is mérünk, tekintsük a csomót egy önálló mértékegységnek.) Meg persze számon tartjuk a hosszt és időt, mint tulajdonságot, amit mondjuk méterben, illetve másodpercben mérünk.

A fizika törvényei valahogy olyanok, hogy vannak arányosságok. Minden más paramétert változatlanul hagyva a sebesség és a megtett út között egyenes arányosság van:

v ~ s

Megint csak minden más paramétert változatlanul hagyva a megtett út és az idő között is egyenes arányosság van:

s ~ t

Megint minden más paramétert változatlanul hagyva a sebesség és az idő között fordított arányosság van. Mivel a fordított arányosságnak matematikai okokból nincs önálló jele, ezért jelöljük a fordított arányosságot mondjuk ebben a válaszban a \ jellel:

v \ t

Ha adott mértékegységek esetén a *mérőszámok* között elvégzendő műveleteket egyenlőségként akarjuk felírni, azt többféle módon megtehetjük:

v*t/s = k

vagy

s/v/t = z

Hogy most a k, illetve z az egy paraméter vagy egy konstans, az attól függ, hogy ez az összefüggés függ-e más tulajdonságtól, mondjuk a mozgó test hőmérsékletétől, ellenállásától, stb… Mivel azt találjuk, hogy nem, ezért jelen esetben k, illetve z egy állandó lesz.

Így felírhatunk mindhárom tulajdonságra egy-egy olyan képletet, amiben lehetőleg a konstans megválasztása olyan legyen, hogy szorzótényező legyen:

v = k * s/t

s = z * v*t

t = k * s/v

A dolog úgy áll tehát, hogy a három tulajdonság nem független egymástól, a két tulajdonság ismeretében a harmadik meghatározható. Hogy most melyik két tulajdonságot választjuk „alap” tulajdonságnak, és melyiket „származtatott” tulajdonságnak, az egy érdekes kérdés, de alapvetően önkényes döntés kérdése, még ha vannak olyan objektív szempontok, amik alapján ezt megtehetjük. De hogy szokatlan döntést hozzunk, tekintsük a hosszt és a sebességet alapvető tulajdonságnak, azaz vegyük alapul a t = k * s/v képletet.

Itt tehát adott mértékegységek esetén az idő mérőszáma arányos lesz az út és a sebesség mérőszámával, pontosabban az út és sebesség mérőszámának a szorzatával. Némi absztrakcióval így értelmezhetővél válik a kn*m kifejezés is, ez valami olyan mértékegység, ami egy olyan tulajdonságot jelöl, ami a sebességgel is, és az úttal is egyenesen arányos, és amely mértékegység az időnek nevezett tulajdonságot fejezi ki. Némi absztrakciós lépéssel tehát eljutunk oda, hogy:

s ~ kn*m

A kn*m (csomóméter) az kvázi egy rövidítés ezen értelmezési keretben, amivel idő tulajdonság megérthető módon jellemezhető.

Tehát mikor mondjuk m³-ről, meg kg*m/s²-ről beszélünk, az egyfajta rövidítés, ami a fizikai törvényszerűségeknél a mérőszámokon végzett műveletek analógiájára született rövidítés. A dolog érthető, ellentmondásmentes, így használjuk is ezt.

Tulajdonképpen az egész fizika nem szól másról, mint arányosságokról, ezek képezik a fizikai összefüggéseinket. Még akkor is, ha valamilyen bonyolult függvénybe pakolunk paramétereket, akkor is alapvetően arányosságokat írunk fel. Így a fizika alapja kvázi az osztás, szorzás, és csak másodlagosan az összeadás, kivonás, minden más művelet meg valahogy visszavezethető ezekre.

~ ~ ~

És hogy mit választunk alap mértékegységnek? Célszerűen olyan tulajdonságokat, amik minél több összefüggésben szerepelnek. Illetve praktikus okokból olyan módon választjuk meg őket, hogy a fizikai összefüggések alapján lehetőleg az adott mértékegység ne kapjon nem egész kitevőt. A hossz helyett pl. választhatnánk a litert is mértékegységnek, csak akkor egy raklap képletben a ∛(liter) mértékegység jelenne meg, ami nem praktikus.

Viszont mivel a mértékegységeink nem csak önmagukban önkényesen választottak, hanem az is önkényes valamennyire, hogy mit tekintünk alap mértékegységeket, és milyen tulajdonságokat fejezünk ki ezek összefüggéseivel, így újabb problémát vet fel, hogy lehet-e valamilyen módon értelmezni egy mértékegységet, mint kitevőt, lehet-e ennek a valóságra visszavetíthető értelmezését adni.

~ ~ ~

(Egyébként első blikkre érdekes, hogy azzal, hogy bizonyos tulajdonságok mértékegységét alapul véve adunk mértékegységet más tulajdonságoknak, így kaphatunk olyan mértékegységeket, amiknek közvetlenül nincs realitásuk. Pl. a gyorsulás mértékegysége a m/s². Hát de mit jelent ebben a kifejezésben a s²? Az idő egydimenziós a klasszikus fizika szerint, akkor mégis mit jelentsen a négyzetmásodperc? Hát semmit. Mert valójában a sebesség és az idő közötti viszonyt fejezzük ki. A sebességet meg visszavezetjük az út és az idő közötti viszonyra, aminek a m/s mértékegységet választottuk. Így természetesen értelmezhető a (m/s) és a s közötti arányosságból a (m/s)/s, amit matematikai analógiára összevonhatunk m/s²-ként, de ebből kiragadva a s²-et, annak önmagában értelme nincs.)

"Ez továbbra se helyes válasz. Attól, hogy egyik mértékegységben kétszerese, egy más mértékegységben nem kell kétszeresnek lennie. A 40°C is kétszerese a 20°C-nak, Fahrenheitben mégse kétszerese."

Egy részt, de, minden mértékegységre igaz az, hogy a kétszeres az kétszeres, kivéve a nem-abszolút skálákat, ami a gyakorlatban kizárólag a hőmérséklet (de persze ki lehet találni többet is). A hőmérséklet az ugye egy speciális skála, mert ott a kétszeres az nem kétszeres hőmérsékletet jelent. Vagyis a 40°C az NEM kétszerese a 20°C-nak, mert a 0°C az nem az abszolút nulla fokot jelenti. (Minden más mértékegységnél természetesnek vesszük, hogy a 0 az nulla, tehát a 0 méter az kiterjedés nélküli, a 0 Pa az nyomás nélküli stb.) Hőmérséklet arányokat méregetni CSAK kelvinben van értelme.

Éppen ezért is nincs olyan hogy milli-Celsius meg hasonló. De ha kínunkban ki is találjuk, hogy 10°C legyen 100 centi-Celsius, akkor is azt kapjuk, hogy legalábbis SKÁLÁN belül a mérőszámok aránya nem változik, tehát ha átváltjuk a 10 és 20 fokot 100 és 200 centi-Celsiusra, akkor is megmarad az 1:2 arány. (Fahrenheiten belül is megmarad, csak C-F váltáskor nem marad meg, mert ugye egyik sem abszolút skála.)

Tehát ha meg is engedjük, hogy a méter a szekundumadikont mérföld a naponadikra váltjuk, akkor elmennek az arányok, de legalább AKKOR meg kéne maradniuk, ha skálán belül maradva mondjuk méter a milliszekundomadikra váltjuk. Tehát nem megyünk ki az SI-ből, nem váltunk imperiálra, se Fahrenheitre, csak egyszerűen skálán belül váltunk milli- centi- stb-re. Ilyen esetben még az olyan béna skála is mint a Celsius, megtartja a mérőszámok arányait. Az kitevős pedig ugye nem.

> Ne küzdjetek már ezzel az idiótával, nem látjátok, hogy semmi értelme?

Van itt – a kérdező személyétől és az előző kérdéseitől függetlenül – egy teljesen legitim kérdés, ami érdekes és értelmes felvetés, ami másokban is felmerülhet, és amit könnyű megválaszolni, de jobban belegondolva nem is olyan egyszerű a választ meg is indokolni. A kérdező nem mindenáron „küzd” velünk, a kommentjei ezen kérdés alatt teljesen jogosak és elfogadhatók. Hogy a kérdezőnek mindez hasznos-e az részletkérdés, mert más is olvashatja a válaszokat. Pl. én magam is tanultam valamit azzal, hogy megpróbáltam választ adni a kérdésre, belegondoltam valamibe, amibe ennyire direkt módon előtte nem.

Bocs, de véleményem szerint ennek – mármint a kérdésre adott releváns válasz megfogalmazásának – még mindig ezerszer több értelme van, mint annak hogy „ne küzdjetek már ezzel az idiótával”…

Én: > Itt tehát adott mértékegységek esetén az idő mérőszáma arányos lesz az út és a sebesség mérőszámával, pontosabban az út és sebesség mérőszámának a szorzatával.

Korrekció: Na itt keveredtem bele a válaszba. Természetesen a t=k*s/v képletet alapul véve a m/kn mértékegységéhez jutunk, és nem a kn*m mértékegységhez.

> A radioaktív bomlást leíró N(t)=N(0)*(e^t)^-λ egyenletben nyugodtan elnevezhetjük az e^t részt valaminek, aminek a mértékegysége 1^s.

Ezért nem lehet kiragadni a képletből egy részletet, és ezért kell a képletnek az értelmét, az egészét nézni, mert úgy járunk, mint a gyorsulás mértékegységével, ahol a m/s²-ből kiragadva a s²-et, persze, hogy értelmezhetetlen dolgot kapunk. Mert nem így áll össze a képlet, nem ez az „organikus” alakja, hanem a (m/s)/s.

A bomlási törvény képletben valójában az e-nek a kitevője -λt, azaz e^(-λt) szerepel a képletben. Itt valójában egy (-λ*t) kifejezés van értelmezve, ahol λ egy 1/s mértékegységű paraméter, így nyilván a -λ*t egy dimenzió nélküli érték, kvázi arányszám lesz, ami viszont innentől már képes ténylegesen számként viselkedni, és mivel integrálással kapjuk a képletet, így fog ez a kitevőbe kerülni. Ez így, és csak így értelmezhető. Ha ezt a hatványt átalakítjuk (e^t)^-λ alakba, és ebből kiragadjuk a e^t részt, és ennek keresünk önálló értelmet, akkor ugyanúgy nem fogunk értelmet és értelmezést találni benne, mint ahogy a s² sem egy önmagában értelmes mértékegység.