Van olyan, amikor egy mértékegység egy másik mértékegység kitevőjében szerepel?

Nincs. A kitevő jelentése az, hogy valamit hányszor, azaz "hány darabszor" szorzunk össze önmagával, azaz x*x*x*x = X^4. Nem tudsz valamit "méterszer" összeszorozni önmagával.

Meg aztán, godnold végig hogy hogyan viselkedne az adott dolog. Ugye egyértelmű, hogy egy mértékegység átváltáskor ugyanúgy viselkedik. Azaz ha mondjuk van egy dolog aminek a mértékét megméred mondjuk méter per szekundumban, azt át tudod váltani kilométer per órára. Ha egy másik dolog mértéke méter per szekundumban nagyobb, akkor kilométer per órában is nagyobb lesz, vagy millméter per naonoszekundumban is nagyobb lesz. Lehet hogy fura számokat fogsz kapni, de ha az egyik objektum kétszer nagyobb az egyik mértékegységben, akkor bármire is váltod át, kétszer nagyobb marad.

Viszont ha lenne egy szekundum a méterediken mértékegység, az hogyan viselkedne?

Ha egyről kettőre növeled a méter tényezőt, és 2 szekundumot mérsz, akkor a képzeletbeli szekundum a méterediken bigyó értéke 2-ről 4-re nőne. De ha átváltod deciméterbe (szekundum a deciméterediken), akkor ugyanaz a dolog először 1024, másodjára meg több mint 1 millió lenne, pedig az átváltástól függetlenül ugyanannak kéne maradnia. Arról nem is beszélve, hogy ha km-be váltod át, akkor meg csökken.

Kitevője egy hatványnak van. A hatvány meg alapvetően matematikai fogalom, amiben a kitevő triviálisan pozitív egész számokra értelmezhető: x³=x*x*x, y⁴=y*y*y*y. A hatvány ugyanannak a számnak az egymást követő összeszorzása.

A szorzás tulajdonságaiból következően a hatványnak is vannak összefüggései. Pl. x^(n+m)=x^n * x^m. Vagy (a*b)^n=a^n * b^n. A nem pozitív egész kitevőkre is lehet értelmezni a hatványozást a permanenciaelv segítségével, magyarán olyan értelmezést keresünk, ami a hatványozásnak a pozitív egészekre fennálló összefüggéseiből levezethető. Pl.:

x^1 = x

x^(1/3 + 1/3 +1/3) = x

x^(1/3) * x^(1/3) * x^(1/3) = x

(x^(1/3))^3 = x

x^(1/3) = ∛x

Ilyen módon lehet a hatványozás értelmezését kiterjeszteni 0, negatív, racionális, irracionális, sőt komplex szám kitevőre is úgy, hogy a hatványozás összefüggései fennállnak, így egy ellentmondásmentes, konzisztens értelmezést kapunk. De ezek mind-mind azon alapulnak, hogy a hatványozásnak van egy triviálisan értelmezhető meghatározása pozitív egész kitevőkre.

~ ~ ~

A fizikában a mértékegység a legtöbb esetben önkényesen megválasztott egység. A mérőszám azt mondja meg, hogy az adott mennyiség hogyan aránylik a mértékegység által kifejezett mennyiséggel. A méterrúd akkora, amekkorának valaki egyszer kitalálta. A 28 méter azt fejezi ki, hogy az adott távolság 28-szorosa a méterrúd hosszának, 28 méterrudat egymás után fektetve azonos lesz a méterrudak együttes hossza, mint az adott távolság.

A mértékegység tehát nem szám, hanem egy viszonyítási alap, amivel valamilyen fizikai tulajdonság számszerűsíthetővé válik. Mivel a mértékegység nem szám, ezért nem tudunk olyan összefüggést felhasználni, amivel ilyen kitevőre is értelmezhető lenne a hatványozás.

"Ezt nem is értem. A mértékegységek egyik tulajdonsága, hogy ha átváltod, akkor a mérőszám is megváltozik."

Ez így van.

Ha Albert sebessége 1 km/h akkor 1000 m/h, vagy 24 km/nap.

Ha Béla sebessége 2 km/h, akkor 2000 m/h 48 km/nap.

Albert és Béla sebességének aránya bármibe átváltva 2-szeres (B/A = 2). (Nyilván a mérőszám nem ugyanaz, de a kettejük aránya akár inch per holdhónapba átváltva is MINDIG 2-szeres marad.)

Ha viszont Albert képzeletbeli űrugrás tényezője 2 sec és 1 m űrugrás alatt 2 s^m, akkor dm-be átváltva (azaz 2 sec 10 dm, ugyanakkora űrugrás esetén) 1024 s^dm.

Ha Béla képzeletbeli 2 sec és 2 m űrugrás esetén 4 s^m, ami 2-szerese Alberténak, azaz azt várjuk, hogy s^dm-ben kifejezve 2048-at kapjunk, ami szintén 2-szerese az Albert esetén dm-re átváltott értéknek. (Tehát B/A =2) Ezzel szemben 1048576-ot kapunk, ami NEM kétszerese Albert értékének.

A mértékegységekkel mindig ugyanazt a műveletet végezzük el, mint a mérőszámaikkal. A sebesség mértékegysége azért lesz m/s, mert egy méterben megadott mennyiséget elosztunk egy mp-ben megadott mennyiséggel, és ahogy a mérőszámokat, úgy a mértékegységeket is elosztjuk egymással. Ez minden esetben így van.

Én nem ismerek olyan fizikai képletet, ahol egy fizikai mennyiség nem valamilyen konstans kitevőre, hanem egy másik fizikai mennyiségre lenne emelve, hipotetikusan pl. w=s^t – ekkor lehetne w mértékegysége m^s. Én csak olyan képletet ismerek, ahol ezeket szorozzuk vagy osztjuk egymással (esetleg összeadjuk). Ebből következik, hogy a métékegységeket is csak szorozzuk vagy osztjuk egymással, így mértékegység nem kerülhet a kitevőbe.