Valószínűségszámítás, egyszerű, feladat lent(?)

Ha valóban egyszerű, akkor csak egy kis támpontot adok.

Összes eset: (227 alatt a 15)

Kedvező eset: itt pedig célszerű azt kiszámolni, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy maximum 2 bogár repül el.

Valószínűség=kedvező/összes, majd a végén kivonod a kapott valószínűséget 1-ből és készen vagy.

Egyébként ez tényleg egy könnyűnek számító feladat (középszintű tudással megoldható).

"Ha valóban egyszerű, akkor csak egy kis támpontot adok.

Összes eset: (227 alatt a 15)"

Ez így önmagában nem teljesen igaz. Először azt kell meghatároznunk, hogy az esetek hogyan szeretnénk összeszedni. Ez a válasz akkor lenne igaz, hogyha a bogarak elrepülési sorrendjében nem teszünk különbséget. Én azt szoktam ajánlani, hogy mindig(!) érdemesebb a sorrendiséggel számolni a valószínűségszámítás során, mivel akkor biztosan nem esünk bele semmilyen csapdába. Szóval nézzük először az, amikor sorrendiséggel számolunk;

Összes eset: ahogy szoktuk: rajzolunk 15 kicsi vonalkát, és a vonalkákra ráírjuk, hogy rájuk hányféleképpen lehet az állatkákat pakolászni, majd ezeket a számokat összeszorozzuk, így kapjuk a 227*226*225*...*213 szorzatot, ez lesz az összes eset. Aki egy kicsit jártasabb a faktoriálisok világában, az könnyen észreveheti, hogy ez a szorzat felírható rövidebben is; 227!/212!, de enélkül is elleszünk a feladat megoldása során.

Kedvező eset: érdemesebb úgy számolni, hogy a "rossz eseteket" számoljuk meg. Ez most azt jelenti, hogy mikor fog pontosan 0;1;2 darab bogár elrepülni.

-Pontosan 0 bogár repül el: itt nincs nehéz dolgunk, a vonalkákra a 135;134;...;121 számokat írjuk, majd ezeket a számokat összeszorozzuk, tehát az eredmény: 135*134*...*121, ami rövidebben így írható fel: 135!/120!

-Pontosan 1 bogár repül el: az eseteket aszerint szedjük össze, hogy az az 1 bogár mikor repül el. Jelölje T a tücsök, B a bogár elrepülését, ekkor ezeket az eseteket kapjuk:

TTTTTTTTTTTTTTB, itt a T-k helyére csak tücsköket, a B helyére csak a bogarakat írhatjuk. Ahogy eddig is, felírjuk a számokat, és ezt a szorzatot kapjuk: 135*134*...*122*92, tehát ennyiféleképpen tud 15.-nek elrepülni a bogár. A szorzat itt is egyszerűbben felírható: 135!/121! * 92

TTTTTTTTTTTTTBT, erre ezt a szorzatot kapjuk: 135*134*...*123*92*122, ez pedig nyilvánvalóan ugyanannyi, int az előbb.

Ezek alapján rá tudunk jönni, hogy akárhogy írjuk fel a betűket, a szorzat mindig ugyanannyi lesz. Ezekben az esetekben kapott számokat össze kellene adnunk, már csak az a kérdés, hogy hányféle esetet tudunk megkülönböztetni; pont annyit, amennyi módon a 14 darab T és 1 darab B betű egymás mellé írható. Itt most nincs nehéz dolgunk, mert ránézésre látható, hogy az eredmény 15 lesz. Ez azt jelenti, hogy 15 darab 135*134*...*123*122*92 számot kell összeadnunk, ezt pedig rövidebben a szorzás segítségével tudjuk megtenni (például 6+6+6 = 3*6), ennek megfelelően 15*135*134*...*123*122*92 = 15 * 135!/121! * 92 esetben fog pontosan 1 bogár elrepülni.

-Pontosan 2 bogár repül el: a taktika ugyanaz lesz, mint az előbb;

TTTTTTTTTTTTTBB esetén a lehetőségek száma: 135*134*...*123*92*91, ami rövidebben felírva: 135!/122! * 92!/90!

Itt is igaz lesz, hogy bárhogyan felírva a betűket a szorzat mindig ugyanaz lesz, és itt is az a kérdés, hogy hány repülési sorrendet tudunk megkülönböztetni, vagyis 13 T és 2 B hányféleképpen írható egymás mellé. Erre az ismétléses permutáció segítségével tudunk válaszolni: 15!/(13!*2!)=105.

Ahogyan az előbb, az eredmény is csak annyi, hogy az előbbi szorzatot megszorozzuk 105-tel, így az eredmény: 105 * 135!/122! * 92!/90!

Tehát most összeadjuk, hogy 0 bogár + 1 bogár + 2 bogár hányféleképpen tud elrepülni a tücskökkel, és az lesz a "rossz esetek" száma. A kedvező esetek számát úgy kapjuk, hogy ezt az összeget kivonjuk az összes esetből, így már csak a klasszikus valószínűségi modellt használva (kedvező/összes) megkapjuk a valószínűséget.

De érdemesebb lenne kisebb számokkal végigcsinálnod a feladatot. Például legyen 10 tücsök és 8 bogár, ezekből szálljon el 6, és az a kérdés, hogy mekkora valószínűséggel fog legalább 3 bogár elrepülni.

Pont amiatt, mert a betűket egymás mellé felírva mindig ugyanannyi lehetőséget kapunk, megtehetjük azt, hogy a sorrendiséggel nem foglalkozunk. Ennek megfelelően:

Összes eset: (227 alatt a 15)

Kedvező eset: rossz esetet számolunk:

-pontosan 0 bogár: itt könnyű dolgunk van, egyszerűen csak (135 alatt a 15).

-pontosan 1 bogár: mivel nem számít a betűk sorrendje, ezért mi kijelölhetünk egy sorrendet, amin számolunk; legyen ez TTTTTTTTTTTTTTB. A 14 T helyére (135 alatt a 14)-féle lehetőségünk van, a B-re 92, ezek szorzata adja az esetek számát: (135 alatt a 14)*92

-pontosan 2 bogár van: TTTTTTTTTTTTTBB, itt az esetek száma: (135 alatt a 13)*(92 alatt a 2)

Ezek összege adja a rossz esetek számát: (135 alatt a 15)+(135 alatt a 14)*92+(135 alatt a 13)*(92 alatt a 2), ennyi esetben fog 0;1;2 bogár elrepülni.

Ezt kivonjuk az összes esetszámból: (227 alatt a 15)-(135 alatt a 15)-(135 alatt a 14)*92-(135 alatt a 13)*(92 alatt a 2)

Valószínűség: [(227 alatt a 15)-(135 alatt a 15)-(135 alatt a 14)*92-(135 alatt a 13)*(92 alatt a 2)] / [(227 alatt a 15)]

Ez lesz a valószínűség.