Sorozat torlódási pontjánál csak határértéket kell számolni?

Gyakorlatilag igen, a torlódási pont az maga a határérték. Annyi a különbség, hogy a torlódási pont esetén a sorozat tagjait nem koordináta-rendszerben ábrázoljuk függvényként, hanem a tagokat egy számegyenesen ábrázoljuk, és az a torlódási pont, ami körül „tömörülnek” a tagok (vagyis annak tetszőleges környezetében végtelen sok tag található).

A másik lényeges különbség, hogy egy sorozatnak csak 1 határértéke lehet, torlódási pontja pedig akár végtelen sok is. Tipikus példaként a (-1)^n sorozatot szokták felhozni, ennek a sorozatnak két torlódási pontja is van (a (-1) és az 1), ha pedig vesszük a sin(n) sorozatot, akkor ennek a sorozatnak a [-1;1] intervallum elemei mind torlódási pontok lesznek.

limsup a_{n} a sorozat legnagyobb torlódási pontja

liminf a_{n} a sorozat legkisebb torlódási pontja

Az mindig igaz, hogy liminf a_{n} ≤ limsup a_{n}.

Ha a kettő egyenlő, a sorozat konvergens, létezik határértéke.

Kézzel veszed.

Ábrázoltatod a sorozatot a számítógéppel, megsejted hogy mi a liminf/limsup, fogod a definíciót, és belátod hogy teljesül.