Hogyan kell kiszámolni ennek a sorozatnak a határértékét (kép leírásban)?

Az 1-es a L'Hospital-szabályra gondolt, amit itt bajosan lehetne használni, lévén sorozatról és nem folytonos függvényről van szó, amit meg nem nagyon tudunk deriválni. Persze lehet hivatkozni az átviteli elvre meg ilyesmi, de nagyobb gond, hogy valószínűleg még a deriválást sem vettétek.

Amire itt szimplán szükséged van, az a különféle algebrai átalakítások használata. Első körben érdemes egy új ismeretlent bevezetni a jobb áttekinthetőség érdekében, csak az átalakítás idejére; legyen ennedikgyök(2)=k, ebből következően ennedikgyök(8)=k^3, tehát a kifejezés máris

(k^3-1)/(k-1)

lesz, amit már könnyebb átalakítani. Ha megvagy az átalakítással (akár az ismert azonosság, akár a polinomosztás segítségével), a k-k helyére visszaírod az ennedikgyök(2)-ket, és ott már fogsz tudni határértéket számolni.

Én is tudom, hogy az értékeléssel nem kell törődni, csak szeretném tudni, hogy aki értékelt, az tudja is, hogy miért tette. Na mindegy...

Ha elvégezted az átalakítást, akkor ugye ezt kaptad;

(k^3-1)/(k-1)

Ennek az osztásnak az elvégzéséhez van egy harmadik lehetőség is; ha szemfüles vagy, akkor észreveheted, hogy ez a hányados nem más, mint egy mértani sorozatnak az összege (az összegképlet alapján). Kiolvasható, hogy a mértani sorozat első tagja 1, kvóciense k, és a sorozat 3 tagú, tehát ez a hányados megfelel az 1+k+k^2 összegnek. Ellenőrzésként érdemes elvégezni a (k-1)*(1+k+k^2) szorzatot, hogy visszakapjuk-e a k^3-1 kifejezést.

Ha ez megvan, akkor k helyére vissza lehet írni az eredetiket, ekkor az 1+ennedikgyök(2)+ennedikgyök(2)^2 összeget kapjuk, ennek szemmel láthatóan a határértéke 1+1+1=3.

Az egyik, amit írtam, hogy az a^3-b^3-re van nevezetes azonosság. A másik a polinomosztás, az minden körülmények között működik, cserébe kicsit hosszadalmasabb. Nem tudom, hogy azt tanultad-e, de biztosan fogod tanulni. Egyáltalán nem egy nehéz eljárás, az alapelve pedig gyakoratilag a kisiskolás maradékos osztás.

Sajnos általánosságban nem lehet mit mondani. A feladat jellegétől függ, hogy mit lehet vele kezedni. Vannak alappraktikák (mint amit le is írtam), amiket érdemes tudni, de még akkor sincs arra garancia, hogy a határértéket ki tudod számolni. Próbálgatni kell, hátha valamelyikkel sikerül.