Folytonos-e az x0=0 pontban az alábbi függvény? Ha nem, akkor megadható olyan érték a 3 helyett, amelyre már az? f(x)={((sin^2 3x)/x^2 ,ha x∈R és x≠0 és 3,ha x=0 )}

x=0-ban csak azért értelmezhető, mert külön lett rá érték definiálva, egyébként a /x^2 miatt nem lehetne értelmezni.

Azt kell megnézned, hogy mi a két oldali határérték x=0-ban. Lehet L'Hospital-szabállyal is csinálni, mivel 0/0 alakú a határérték, de egyszerűbb erre a nevezetes határértékre hivatkozni:

lim sin(x)/x = 1

x->0

Ilyen alakúra kell átalakítanunk a kifejezést, ehhez bővítsük a törtet 9-cel:

9*sin^2(3x)/(9x^2), majd a hatványozás azonossága szerint ezt kapjuk:

9*(sin(3x)/3x)^2

A zárójelen belüli rész az előbbiek alapján 1-hez tart, 1^2=1, 9*1=9, tehát a függvény határértéke 9 az x=0 helyen (akár balról, akár jobbról nézve).

Mivel a függvény x=0-ra a 3 értéket veszi fel, ezért a függvény nem folytonos. Azonban ha az x=0 helyen a 9-et veszi fel, akkor már foytonossá válik.