Jók lettek-e a végeredmények? (Matematika)

Az első stimmel, a másodiknál meg hogy reagálna a tanárod arra a hackre, hogy a null-vektor iránya tetszőleges, így párhuzamos lesz a szögfelezővel (ahogy bármelyik más vektorral is)?

Amúgy a második szerintem nem stimmel, az a vektor kisebb szöget zár be az x tengellyel, mint a b, és a két ellenkező oldalára mutatnak, szóval a kérdéses vektor két komponense nem lehet azonos előjelű, mint nálad. (De kiszámolva, és az x komponenst 5-re normálva nekem is irracionális szám jön ki az y komponensre.)

Az első tökéletes.

A második biztosan nem jó; ha felrajzolnád a két vektort, akkor már szemmértékre is azt kapnád, hogy a "szögfelező-helyvektor" az x-tenger "alá" mutat, tehát az első koordináta pozitív, a második negatív.

Egy pontos megoldás (GeoGebrával teszteltem):

v( 5+gyök(18,56) ; 2-gyök(10,44) )

Nekem a másodikra az (5; (130 – 25*sqrt(29))/7) ≈ (5; –0,6613) vektor jött ki. Szóval kerekítve stimmel. Szép számolás!

Amúgy ha szabad tennem egy észrevételt, akkor lehet, hogy egyszerűbb úgy, hogy veszel két vektor, amik párhuzamosak az eredeti a és b vektorokkal, de egyforma hosszúak (például elosztod őket a hosszukkal), és ezeket összeadod. Ugye ha egyforma hosszúak, akkor az összeadásnál a paralelogramma rombusz lesz, aminek az átlója (a két vektor összege), éppen felezi a szögeket.

Az első (20:15-ös) válaszoló voltam.

Nem tudom, hogy mennyire számít a pontosság, de nem árt, hogyha látsz egy minden szempontból pontos számolást is; én így számoltam:

Először kiszámoltam a vektorok hosszát:

a vektor hossza: gyök(29)

b vektor hossza: 5

Jó lett volna, hogyha a két vektor egyenlő hosszú, mert akkor a közös kezdőpontjuk és a két végpontjuk egy egyenlő szárú háromszöget határoztak volna meg, amelynek szárszöge a két vektor szöge, így elég lett volna csak a két végpont által meghatározott szakasz felezőpontját kiszámolni.

De szerencsére tudjuk azt, hogy ha egy vektort egy pozitív skalárral szorzunk/osztunk, akkor az eredetivel párhuzamos marad, annak hossza pedig ugyanúgy a skalár szerint változik. Ha a b vektort 5-tel osztjuk (1/5-del szorozzuk), majd gyök(29)-cel szorozzuk, akkor a b vektorból ezt kapjuk ( a lehetséges összevonások után): (gyök(18,56) ; -gyök(10,44)). Könnyen ellenőrizhető, hogy ennek hossza is gyök(29) egységnyi, és így előállt az, ami miatt az elején bánkódtunk, hogy nincs meg.

Innen pedig csak egyszerűen kiszámoljuk a két végpont által meghatározott szakasz felezőpontját:

felezőpont: ( (5+gyök(18,56)) / 2 ; (2-gyök(10,44))/2 )

Ha a helyvektor ebbe a pontba mutat, akkor az a vektor felezni fogja az eredeti vektorok által meghatározott (hegyes)szöget. Ezt a vektort nyugodt szívvel szorozhatjuk 2-vel, így a "/2"-ktől meg tudunk szabadulni, így kapjuk azt a vektort, amit a 2-es válaszban írtam.

> „Ezt a vektort nyugodt szívvel szorozhatjuk 2-vel,”

Tulajdonképpen nyugodtan szorozhatjuk bármilyen valós számmal (de legalábbis egy pozitívval mindenképpen, még hepciás matektanárok esetén is), akkor is jó vektort kapunk. Így például szorozhatjuk 5/((5+gyök(18,56)) / 2)-vel, és akkor az x komponense 5 lesz, az y komponensét pedig közvetlenül összehasonlíthatjuk a kérdező eredményével ellenőrzésképpen.