Hogyan szerkeszthető háromszög, ha az A csúcshoz tartozó szög 45 fokos, az A-hoz tartozó magasság 5 cm, a súlyvonal pedig 7 cm?

#1, nem kiszámolni kell, hanem megszerkeszteni. Persze ha nagyon nincs más ötletünk, akkor lehet számolni, és akkor abból hátha kijön valami szerkeszthető dolog, de van egyfajta „íratlan szabály”, hogy csak szerkesztési lépéseket szabad tenni, számolni és mérni nem megengedett.

Nem vagyok benne teljesen biztos, hogy jó a megoldás, még át kellene gondolnom, de erre jutottam; szóval megvan a derékszögű háromszöged. Ezután állíts merőlegest az a oldal egyenesére a súlypont ráeső végpontjában, ez egyben az a oldal oldalfelező merőlegese is, ezt nevezzük el mondjuk t-nek, ezen az egyenesen van rajta valahol a háromszög köréírható körének középpontja.

Most szúrd bele a körzőt a súlyvonal a oldalra eső végpontjába, és ebből a pontból tetszőleges körzőnyílással metszd el az a oldal egyenesét két helyen, ez a két metszéspont egy szakaszt határoz meg. Ennek a szakasznak szerkeszd meg a 45°-os látókörívét az A csúccsal közös félsíkon (a látókör szerkesztése alapszerkesztés, remélem, hogy megy egyedül). Ha van egy kis szerencséd, akkor ez a látókör átmegy az A ponton, így a szerkesztéssel készen vagy. Valószínűleg nem lesz szerencséd, és attól függően, hogy mekkora szakaszt vettél fel az elején, a látókör elmetszi a súlyvonalat vagy nem. Ha nem metszi el, akkor hosszabbítsuk meg a súlyvonalat úgy, hogy metsszék egymást.

Akárhogy is, ezt a metszéspontot hívjuk A'-nek. Az A' pontot kössük össze a látókör középpontjával, ezután az így kapott szakasszal szerkesszünk párhuzamost az A-n keresztül. Ahol ez a párhuzamos metszi a t egyenest, ott lesz a keresett háromszög köréírható körének középpontja (a hasonlóságra lehet hivatkozni, gyakorlatilag kicsinyítünk/nagyítunk). Innen pedig már csak annyi a dolgunk, hogy beszúrjuk a körzőt a kapott középpontba, felmérjük az A távolságot, és ezzel elmetszük az a oldal egyenesét két helyen. Ahol ezek a metszéspontok vannak, ott lesz a háromszög másik két csúcsa, tehát azokat összekötve az A csúccsal meg is kapjuk a háromszöget.