Ebben az esteben az I pont körre vonatkozó hatványa AI*IF=CI*IE akkor ez miért egyenlő tovább (R+d)*(R-d)?

Az I pont körhatványát az I-n átmenő szelőből kiszámíthatjuk. Az ábrán az AF és a CE egyenesek a kör szelői és I illeszkedik rájuk, emiatt a körhatvány az AI*IF=CI*IE érték lesz.

Ugyanezt alkalmazhatjuk, ha az I-re és az O-ra is illeszkedő egyenest húzunk, ez is szelője lesz a körnek. A kör és ezen szelő O felőli metszéspontját nevezzük el G-nek, az I felőli metszéspontot meg H-nak.

Ekkor az OG pont a kör sugara lesz, tehát OG=R. A OH szakasz is sugár, tehát OH=R.

A d a kör középpontja és a pont közötti távolság, vagyis d=OI.

IH=OH-OI=R-d.

IG=OG+OI=R+d.

A körhatvány értéke: IG*IH=(R+d)*(R-d).

Az előjelet elrontottad a kérdésben, nem AI*IF és CI*IE, hanem IA*IF és IC*IE, továbbá nem (R+d)*(R-d), hanem (d+R)*(d-R) a körhatvány.

Nem csak ebben az esetben, hanem mindig (d+R)(d-R) a pont körre vonatkozó hatványa (ahol R a kör sugara, és d a pont távolsága a középponttól).

Ez látszik, ha felveszed a pontot és a középpontot összekötő egyenest, és az ez által meghatározott szelőre írod fel a IA*IB kifejezést.

További olvasnivaló: [link]