Ezt hogyan igazoljam??

Teljes indukcióval szoktuk az ilyeneket belátni. Nézzük meg a két sorozat első néhány tagját, ez alapján megsejtjük, hogy a két sorozat azonos.

Tegyük fel, hogy az állítás n-ig igaz, így nézzük meg, hogy a soron következőtagok, vagyis az (n+1)-edik tagok is megegyeznek-e, ehhez mindenhol írjunk az n helyére (n+1)-et:

a.) a(n+1) = 5*(n+1) - 2 = 5*n+3

b.) a(n+1) = a(n+1-1)+5 = a(n)+5

Az indukciós feltevés szerint a(n)=5n-2, vagyis

... = 5*n-2 + 5 = 5*n+3

Mivel 5*n+3=5*n+3, ezért a két sorozat következő tagjai is megegyeznek. Mivel ez bármilyen pozitív egész n-re eljátszható ugyanezzel az eredménnyel, ezért a két sorozat megegyezik.

A sorozat rekurzív módon van megadva, ami azt jelenti, hogy a sorozat tagjait csak úgy tudod megkapni, hogy a korábbi tagokat is kiszámolod. Például a 10. taghoz előbb ki kell számolnod a 9. tagot, ahhoz pedig a 8. tagot, és így tovább. A zárt formula azt jelenti, hogy bármelyik tagot meg tudod vele haározni anélkül, hogy a sorozat akármelyik tagját tudnád. Például az a.)-ban megadott képlet zárt formula, mivel abból a 100. tagot ki tudod számolni direkt módon úgy, hogy csak n helyére beírod a 100-at.

Felírod a sorozat első pár tagját: 1 ; 5 ; 21 ; 85 ; 341 ; ...

Itt most ki kellene találni, hogy mivel mit lehetne kezdeni. Nézzük például a tagok közti különbséget: 4 ; 16 ; 64 ; 256 ; ..., tehát azt látjuk, hogy a soron következő tagokat úgy kapjuk, hogy a soron következő 4-hatványt hozzáadjuk az előző taghoz. Tehát a tagok így is felírhatóak:

a(1) = 1

a(2) = 1+4

a(3) = 1+4+16

a(4) = 1+4+16+64

a(5) = 1+4+16+64+256

...

Ha elég szemfülesek vagyunk, akkor azt vehetjük észre, hogy a sorozat tagjai egy mértani sorozat tagjainak összegeként állnak elő, ahol a mértani sorozat első tagja 1, kvóciense 4, és annyi tagból áll, amennyi az a(n) sorozat tagjának sorszáma. Így tehát elég csak felírnunk a tanult módon a mértani sorozat összegképletét:

a(n) = 1*(4^n - 1)/(4-1), vagyis

a(n) = (4^n - 1)/3, ez lesz a sorozat zárt formulája.

A gondolatmenet nem jó. Az igaz, hogy ha minden tag nagyobb lenne 1-nél, akkor azok összege minden határon túl nőne, viszont az nem igaz, hogy ha minden szám kisebb 1-nél és pozitív, akkor azok összege nem lehet akármekkora. Egyébként a laikus elme hasonlóan úgy gondolkozik, mint te, ezzel nincsen semmi probléma.

Azt "véletlenül sikerült eltalálnod" (vagyis rossz gondolatmenet alapján sikerült a jó választ megadni), hogy az első sorozat korlátos, sőt, ez egy nevezetes sorozat:

[link]

A sorozat szuprémuma (legkisebb felső korlátja) pi^2/6 =~ 1,645 (hogy pontosan hogyan jön ki, azt sajnos nem tudnám elmagyarázni, de a linken található bizonyítás).

A fenti bizonyítás hiányában csak sejtésünk lehet (amit próbáltál indokolni, de az nem jó), hogy a sorozat korlátos, úgyhogy másik megoldást kell keresnünk. Tehát ez az összegünk:

1+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)

Ha van egy kis szerencsénk, akkor tudunk mondani egy olyan összeget, amelyben a tagok mind nagyobbak (vagy legalább ugyanakkorák), mint ebben az összegben, és ha az az összeg bizonyíthatóan korlátos, akkor az eredeti is kénytelen korlátos lenni.

Szerencsére szerencsénk van, mert egy másik nevezetes összeget fel tudunk használni;

első tag: 1 = 1

második tag: 1/2 > 1/2^2

harmadik tag: 1/4 > 1/3^2

negyedik tag: 1/8 > 1/4^2

ötödik tag: 1/16 > 1/5^2

.

.

.

A sorozat tagjai a 2*(1/2)^n sorozat tagjai, amiről tudjuk, hogy egy mértani sorozat, amiről tudjuk, hogy a "végtelenben vett összege" 2, ennek bizonyítását most nem írom le külön. Már csak azt kell belátni, hogy a két sorozatban a tagok a megfelelő relációban állnak, vagyis tetszőleges pozitív egész n>1-re

1/n > 1/n^2 teljesül, és szemlátomást is így van, de egy egyszerű n^2-tel való szorzással n>1 adódik, ami megfelel a feltételeknek.

Tehát az összeg mindig 2 alatt marad, tehát a sorozat egyik felső korlátja 2 lesz, tehát a sorozat korlátos.

A második sorozatnál még a megoldást sem sikerült eltalálni, mert ha hiszed, ha nem, az összegnek nem lesz felső korlátja. Erre a bizonyítást így szokták tárgyalni; írjuk fel az első néhány tagot:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16

Csoportosítsuk így a számokat:

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + [1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8] + {1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16}

Az 1-et és az 1/2-et nagyon nem kell magyaráznom.

A kerek zárójelben lévő összeget tudjuk alulról becsülni; 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2, tehát az első két tag összege 1/2-nél nagyobb.

A szögletes zárójelben hasonlóan el tudunk járni: 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2, tehát a szögletes zárójelben lévő összeg is biztosan nagyobb 1/2-nél.

A kapcsos zárójeles összeg:

1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 > 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 8/16 = 1/2, tehát ez az összeg is nagyobb 1/2-nél.

Ezeket a csoportosításokat a végtelenségig meg tudjuk csinálni, vagyis az összeg nagyobb 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...-nél, és mivel végtelen sok 1/2 összege végtelen, ezért az eredeti összeg is kénytelen legalább lenni, vagyis az eredeti sorozat felülről nem korlátos.

Általánosan így tudjuk bizonyítani a megfelelő csoportosítást; azt vehetjük észre, hogy a csoportosítások utolsó tagja mindig 1/(2 egész kitevőjű hatványa) (1/4, 1/8, 1/16, ...), tehát elmondhatjuk, hogy 1/2^k-ig meg tudjuk a megfelelő csoportosításokat csinálni. Nézzük a következő csoportot, amiben az utolsó tag 2^(k+1), tehát ez az összegünk:

1/(2^k+1)^2 + 1/(2^k+2)^2 + 1/(2^k+3)^2 + ... + 1/(2^(k+1))^2

Az összegben 2^(k+1)-(2^k+1)+1=2^(k+1)-2^k=2*2^k-2^k=2^k(2-1)=2^k darab tag található. A tagok szemlátomást alulról becsülehtőek 1/2^(k+1)-es tagokkal, ezek összege 1/2^(k+1) + 1/2^(k+1) + ..., az összeg 2^k darab tagból áll, tehát az összegük:

2^k * 1/2^(k+1) = 2^k/(2*2^k) = 1/2

Ez a levezetés ebben a formában tetszőleges k>=2 egészre működik, tehát az 1/3 + 1/4 összeggel kezdődően, ezen kívül még van az 1 és az 1/2, de ezek a felső korlátosságba nagyon nem szólnak bele (akár el is hagyhatóak).