Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb 4 egység hosszú. Tudjuk, hogy a háromszög nem szabályos. Hogyan igazoljam, hogy a háromszögnek nincs 60 fokos szöge?

Vegyed fel a számtani sorozatban a lépést d-nek. A háromszög egyik szöge legyen 60fok (indirekt bizonyítás). A másik kettő alfa és 120-alfa.

Írjál fel egyenleteket az oldalakra és a szögekre. Ha az állítás igaz, akkor ki fog jönni, hogy d=0.

a = 4

b = 4+d

c = 4+2d

Mivel a háromszög oldalai különbözőek, így legfeljebb egy 60 fokos szöge lehet, a b-vel szemközti.

Koszinusztétel szerint:

cos(60) = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac

Ha behelyettesítesz, akkor a végén kapod, hogy 3*d^2 = 0

Ebből az jön, hogy d = 0, vagyis minden oldala 4 egység, ezt pedig kizárja a feladat.