Itt hogyan igazoljam az állítást? ??

Az ilyen jellegű állításokat általában algebrailag nehéz/hosszadalmas bizonyítani. Persze meg lehet próbálni, de többnyire nem ez szokott eredményre vinni.

A másik megoldási mód (és ez nem vicc, az egyetemen is így tanítják), hogy az állításhoz „költsünk feladatot”; olyan feladatra van szükség, amely az egyenlet két oldalán található képletekkel számolható, ezzel tudjuk megmutatni, hogy az egyenlőség fennáll.

Egy lehetséges megoldás; N emberből hányféleképpen lehet egy n fős (egyenrangú emberekből álló) csapatot összeállítani, hogyha azt akarjuk, hogy Sanyi (aki az N ember között van) mindenképp a csapat része legyen?

Erre viszonylag könnyen jön a jobb oldali képlet szerint a megoldás; Sanyi mellé a maradék (N-1) emberből kell a megmaradt (n-1) helyre választani embereket, erre így a válasz (N-1 alatt az n-1).

A másik gondolatmenet szerint; az N embert osszuk két csoportba, az első csoportban legyen s darab ember, viszont ebbe a csoportba mindenképp kerüljön bele Sanyi (emiatt s>=1), így a második csoportban (N-s) darab ember lesz. Az n fős csapatot most úgy állítjuk össze, hogy az első csoportból kiválasztjuk Sanyit és még mellé k darab embert, és ezen (k+1) darab ember mellé még (n-k-1) darab emberre van szükségünk, amit az (N-s) emberből kell összeszednünk. Megtehetjük azt, hogy az első csoportból csak Sanyit választjuk ki, és Sanyi mellé csak a másik csoportból választunk, vagy úgy, hogy Sanyi mellé egyvalakit az első csoportból és azok mellé a többieket a másik csoportból szedjük össze, ..., végül az is lehet, Sanyi csoportjából mindenkit kiválasztunk, és a másik csoportból a maradékot. A lehetőségeket összeadva kapjuk azt, hogy hányféle csapatösszeállítás lehetséges, ezért fut a k értéke 0-tól (n-1)-ig.

Konkrét példa; 5 emberből 3 fős csapatot hányféleképpen lehet összeállítani, hogyha Sanyi mindenképpen be kell, hogy kerüljön?

Jobb oldali képlet szerint megoldás: (5-1 alatt a 3-1) = (4 alatt a 2) = 6

Bal oldali képlet szerint: legyen a csoportbontás ez: SAB|CD, (ebben az esetben a képletben s=3, de az az elválasztóvonal bárhová kerülhetne, csak Sanyi elé nem, tehát |SABCD nem lehetséges) ebben az esetben a lehetőségek a következők;

1. eset: az első csoportból csak Sanyi kerül ki, így a megoldás (3-1 alatt a 0)*(5-3 alatt 3-0-1) = (2 alatt a 0)*(2 alatt a 2) = 1*1 = 1.

2. eset: Sanyi csoportjából jön még 1 valaki, és a másikból a harmadik: (3-1 alatt az 1)*(5-3 alatt a 3-1-1) = (2 alatt az 1) * (2 alatt az 1) = 2*2 = 4

3. eset: mindenkit Sanyi csapatából választunk; (3-1 alatt a 2)*(5-3 alatt a 3-2-1) = (2 alatt a 2) * (2 alatt a 0) = 1*1 = 1

Több lehetőség nincs, így 1+4+1=6-féleképpen szedhető össze a csapat. Mit ad Isten, a másik számítási móddal is ennyi jött ki.

Mivel a képlet szerint k 0-tól (n-1)-ig fut, ezért előfordulhat, hogy s értékét úgy adjuk meg, hogy vagy az (s-1 alatt a k) képletben a k értéke lesz a nagyobb, vagy az (N-s alatt a n-k-1) képletben az (n-k-1) lesz a nagyobb. Például ha az S|ABCD csoportbontást használjuk, akkor az esetek összeszedésekor a 2. esetben azt kapnánk, hogy (0 alatt az 1)*(3 alatt a 2), ennek pedig a megoldása nem az, hogy nem értelmezhető (középiskolában sok helyen így tanítják), hanem a (0 alatt az 1) értéke definíció szerint 0, tehát a szorzat értéke 0 lesz, így viszont a „problémás” esetekben is működőképes marad a képlet. Ha pedig ezt választjuk: SABCD|, akkor már az 1. esetben ezzel találkozunk: (4 alatt az 0)*(0 alatt a 2), itt ugyanaz a helyzet, vagyis a szorzat értéke 0 lesz.

Én abból a definicióból indulnék ki, hogy (M alatta m)=M!/((M-m!)*m!).

Nem próbáltam ki, de ha felírod a szumma tagjait és beírod a definíciót, akkor egy csomó faktoriális ki fog esni.

És feltehetóen az elején és a végén csak az marad, ami kell.

Javítás:

(M alatta m)=M!/((M-m)!*m!)

A közepetájáról lemaradt az összegzés; a két csoportból való kiválasztásokat összeszorozzuk, így kapjuk azt, hogy ha az első csoportból k ember kerül kiválasztásra, akkor a lehetőségek száma:

(s-1 alatt a k)*(N-s alatt az n-k-1).

Mivel k értéke változhat aszerint, hogy az első csoportból hány ember jön, ezért k-nként esetszétválasztást csinálhatunk, és az azokban kapott esetszámokat összeadjuk, tehát a megoldás:

sum((s-1 alatt a k)*(N-s alatt az n-k-1))

Már csak az a kérdés, hogy k értékei mik lehetnek; értelemszerűen az első csoportból legalább 0, legfeljebb (n-1) ember válogatható ki, így a megoldás;

(n-1)

sum((s-1 alatt a k)*(N-s alatt az n-k-1))

k=0

Ha oda akarunk figyelni arra is, hogy ilyen (0 alatt a 2) és társai ne jöhessenek létre, akkor a képlet konkretizálható, ehhez csak k futását kell keretek közé tennünk;

min[s-1;n-1]

sum((s-1 alatt a k)*(N-s alatt az n-k-1))

k=max[-N+s+n-1;0]

De mivel megbeszéltük, hogy definíció szerint ha 0<=n<k egészek, akkor (n alatt a k) értéke 0, így ilyen extra megkötésekre nincs szükségünk.