Az ABC háromszög befogói a és b. Az átfogójára emelt négyzet középpontja O. Hogyan lehet bebizonyítani, hogy az O pontnak a derékszögű C csúcstól való távolsága: OC=(a+b)/sqrt2?

Ha a háromszög egyenlő szárú, vagyis a=a, akkor viszonylag könnyű belátni, hogy a C pont az O ponttól 2*a/gyök(2) távolságra van, ami megfelel az (a+a)/gyök(2)-nek, tehát itt az állítás igaz.

Ha a két befogó nem egyenlő hosszú, akkor legyen a<b, így hosszadalmas végigszenvedés után ezt kapod az OC hosszára:

[link]

Ha kicsit lejjebb tekersz az "Alternate form assuming a and b are positive" részhez, akkor pont azt látod, ami az állításban is megvan, tehát ha a linkelt kifejezést kibontogatsát ha még végigkínlódjuk, akkor meg fogjuk kapni a keresett alakot.

Csak elemi lépéseket használtam, de lehet, hogy van valami trükk, amivel egyszerűbben is kijön, én így számoltam; az ábrába be tudunk rajzolni egy derékszögű háromszöget, amelynek átfogója a kérdéses távolság, egyik befogója merőleges az eredeti háromszög átfogójára (és ráesik annak átfogóhoz tartozó magasságához, másik befogója párhuzamos az eredeti háromszög átfogójával.

-Az eredeti háromszög átfogója gyök(a^2+b^2), ettől az O pont gyök(a^2+b^2)/2 távolságra van.

-Az eredeti háromszög átfogójához tartozó magasság (m) megadható a területképletből; a*b/2 = gyök(a^2+b^2)*m/2

A fenti két adatból megkapjuk az OC átfogójú derékszögű háromszög függőleges befogójának hosszát, már csak a vízszintes befogóra van szükség.

-Ha megvan a magasság, akkor az levág egy kisebb derékszögű háromszöget, ennek átfogója a hosszú, így a kis részt újabb Pitagorasz-tétellel ki tudod számolni, ez gyök(a^2-(a^2*b^2)/(a^2+b^2)), ezt kivonjuk az eredeti átfogó feléből, így kapjuk az OC átfogójú derékszögű háromszög vízszintes befogójának hosszát.

Ha minden megvan, akkor Pitagorasz tételét felírva kapjuk azt, amit a WolframAlphával linkeltem.

-Az eredeti háromszög átfogója gyök(a^2+b^2), ettől az O pont gyök(a^2+b^2)/2 távolságra van.

Általánosságban tudjuk, hogy az x oldalú négyzet oldalaitól a négyzet középpontja x/2 távolságra van (ami most az O pont). Ennek megfelelően a gyök(a^2+b^2) oldalú négyzet középpontja az oldalaktól gyök(a^2+b^2)/2 távolságra van.

-Az eredeti háromszög átfogójához tartozó magasság (m) megadható a területképletből; a*b/2 = gyök(a^2+b^2)*m/2

Az egyenletet csak megoldod m-re: m = (a*b)/gyök(a^2+b^2)

Ennek a kettőnek az összege lesz a függőleges befogó hossza, vagyis (gyök(a^2+b^2)/2 + (a*b)/gyök(a^2+b^2)) lesz.