Hogyan lehet megoldani a {13x+7/(x+1)}={5x+4/(x+2)} egyenletet, ahol a {x} az x szám törtrészét jelöli?

Az 1-es válaszoló arra godolt, hogy a {x} függvényről tudjuk, hogy ha két szám törtrésze azonos, akkor a számokról tudjuk, hogy az egyikhez biztosan hozzáadható úgy egy EGÉSZ szám úgy, hogy a másikat megkapjuk. Például {2,6}=0,6, {6,6}=0,6, és a 2,6-ból úgy tudunk 6,6-ot csinálni, hogy hozzáadunk 4-et, ami egész.

Tehát ha az egyenlőség fennáll, akkor a fenti példa szerint biztosan létezik egy k egész szám, hogy a {}-eken belüli egyenlőek, vagyis

(13x+7)/(x+1) = (5x+4)/(x+2) + k, ezt az egyenletet csak meg kell oldanunk x-re, ahogy szoktuk. Szorzunk a nevezőkkel:

(13x+7)*(x+2) = (5x+4)*(x+1) + k*(x+1)*(x+2), kibontjuk a zárójeleket:

13x^2 + 33x + 14 = 5x^2+ 9x + 4 + k*x^2 + 3k*x + 2k

Ez egy másodfokú paraméteres egyenlet lesz. Redukáljuk a jobb oldalt 0-ra:

(8-k)*x^2 + (24-3k)*x + 10-2k = 0

Ha k=8, akkor nem másodfokú lesz az egyenlet. Nézzük, akkor mi lesz a helyzet:

(8-8)*x^2 + (24-3*8)*x + 10-2*8 = 0, vagyis -4=0, ami nem igaz, tehát k értéke nem lehet 8.

Ha ettől független megoldást keresünk, akkor csak írjuk fel a másodfokú egyenlet megoldóképletét; a képletben a=(8-k), b=(24-3k), c=(10-2k), tehát:

x(1;2) = ( -(24-3k) +- gyök( (24-3k)^2 - 4*(8-k)*(10-2k) ) )/ (2*(8-k))

A gyökjel alatti rész mindenképp nemnegatív kell, hogy legyen, így tehát:

(24-3k)^2 - 4*(8-k)*(10-2k) >= 0, ennek megoldása k>=32 és és k<=8, de a k=8-at megbeszéltük, hogy nem lehet megoldás.

Mivel az eredeti egyenlet x=1 és x=2 esetén nem értelmes, ezért azt is meg kell néznünk, hogy ezek milyen k esetén jöhetnek ki;

ha x=1, akkor (8-k)*1^2 + (24-3k)*1 + 10-2k = 0, ennek megoldása k=7, tehát k=7 esetén kaphatunk a feladatra hamis gyököt, így az (x;k)=(1;7) számpár nem lesz megoldás.

ha x=2, akkor (8-k)*2^2 + (24-3k)*2 + 10-2k = 0, ennek megoldása k=15/2, ami nem egész szám.

Tehát k függvényében kaptuk meg az összes megoldást, vagyis k helyére beírva a megfelelő egész számokat kapjuk meg az eredeti egyenlet megoldásait.

Ez a hosszadalmas megoldása a feladatnak akkor, hogyha nem vagyunk elég szemfülesek; a számítások egyszerűsíthetőek, hogyha egy dologra odafigyelünk.

Első körben vegyük észre azt, hogy mindegyik törtben tudunk osztani;

(13x+7)/(x+1) = (13x+13-6)/(x+1) = (13x+13)/(x+1) - 6/(x+1) = 13 - 6/(x+1)

(5x+4)/(x+2) = (5x+10-6)/(x+2) = (5x+10)/(x+2) - 6/(x+2) = 5 - 6/(x+2)

Tehát ez lesz az egyenlet:

{ 13 - 6/(x+1) } = { 5 - 6/(x+2) }

Ahogy az előbb szó volt róla, a 13 és az 5 "büntetlenül" kiszedhető a {}-ből:

{ -6/(x+1) } = { -6/(x+2) }

Ezzel egy sokkal barátságosabb egyenletet kaptunk az eredetiből.