Hogyan lehet megoldani a valós számok halmazán a 9^x+9^[x]+9^{x}=327 egyenletek, ahol [x] az x szám egész részét, a {x} pedig a törtrészét jelenti?

Az #1-es megoldása minden szempontból tökéletes, csak sajnos az ilyen "trükközések" nem mindig működnek, ezért nézzünk egy algebrai megoldást.

Első körben érdemes használni a {x}-re az azonosságot; {x}=x-[x], tehát ezt kapjuk:

9^x + 9^[x] + 9^(x-[x]) = 327

Abból kell kiindulnunk, hogy a [x] függvény értékei szakaszosan változnak (gondolom, ismered a függvény képét), ennek megfelelően esetekre tudjuk bontani az egyenletet;

-ha 0<=x<1, akkor [x]=0, tehát ezt az egyenletet kapjuk:

9^x + 9^0 + 9^(x-0) = 327, vagyis

9^x + 1 + 9^x = 327, rendezés után

x = lg(163)/lg(9) =~ 2,32, ez viszont nincs benne a feltételezett számhalmazban (0<=x<1), tehát ez nem megoldás.

-ha 1<=x<2, akkor [x]=1, tehát az egyenlet:

9^x + 9^1 + 9^(x-1) = 327, ennek megoldása x=~ 2,57, ami szintén nem része a vizsgált halmaznak.

Próbáljuk meg a fenti lépések alapján általánosságban megoldani; ha n egész szám, és n<=x<n+1, akor [x]=n, tehát ezt az egyenletet kapjuk:

9^x + 9^n + 9^(x-n) = 327, ezt az egyenletet oldjuk meg x-re (vagy x-től függő kifejezésre, például 9^x-re); szorzunk 9^n-nel:

9^n*9^x + 9^(2n) + 9^x = 327*9^n, kivonunk 9^(2n)-t:

9^n*9^x + 9^x = 327*9^n - 9^(2n), kiemelünk a bal oldalon 9^x-t:

9^x*(9^n + 1) = 327*9^n - 9^(2n), végül osztunk (9^n + 1)-gyel:

9^x = (327*9^n - 9^(2n))/(9^n + 1)

Most térjünk rá a kikötésünkre;

n <= x < n+1, ezekkel hatványozzuk a 9-et (mint amikor exponenciális egyenleteknél elhagyjuk az alapot, csak most "visszahozzuk":

9^n <= 9^x < 9^(n+1), itt pedig a 9^x helyére be tudjuk írni a fenti egyenlet megoldását:

9^n <= (327*9^n - 9^(2n))/(9^n + 1) < 9^(n+1)

És ez az exponenciális egyenlőtlenség viszonylag könnyen megoldható. Megoldása:

[link]

~1,6 <= n < ~2,3

Ennek az egyenlőtlenségnek egyetlen egy egész megoldása van, az n=2, ami azt jelenti, hogy az eredeti egyenletnek egyedül a 2<=x<3 megkötésre lesz megoldása, ami ennek tudatában már megoldható.

Persze ennél a konkrét feladatnál nem volt szükség erre a fajta levezetésre, mint ahogyan az az #1-es válaszban is látható. Azonban például a

9^x + 9^[x] - 9^{x} = -1 egyenletnél ugyanez az okoskodás nem tud működni, így jó, hogyha a fenti megoldási módot ismerjük, mert azzal ez az egyenlet is biztosan megoldható.