Ha f : R → R szigorúan növekvő függvény úgy, hogy f◦f folytonos, akkor igazoljuk, hogy az f függvény is folytonos. Tudna segíteni valaki?

Legyen x_n egy sorozat, amely x-hez konvergál alulról (tehát minden x_n < x), y_n pedig egy másik sorozat, amely x-hez konvergál felülről (y_n > x minden n-re).

Tudjuk, hogy f szigorúan monoton növekszik, ezért f(x_(n-1)) < f(x_n) < f(x). Mivel f(x_n) szigorúan monoton növekszik, és korlátos, ezért konvergens. Hasonló okokból f(y_n) is konvergens. A folytonosság igazolásához most már csak azt kell bizonyítanunk, hogy a két sorozat határértéke ugyanaz, vagyis lim(n -> végtelen) f(x_n) = lim(n -> végtelen) f(y_n) = f(x).

Itt jön be az, hogy f◦f folytonos. Ugyanis ez azt jelenti, hogy lim(n -> végtelen) f(f(x_n)) = lim(n -> végtelen) f(f(y_n)) = f(f(x)) minden x-re. Tekintettel arra, hogy f(x_n), mint láttuk, egy szigorúan monoton növekvő, konvergens sorozat, felírhatjuk a következőt:

lim(n -> végtelen) f◦f(x_n) = lim(n -> végtelen) f(f(x_n)) = f (lim(n -> végtelen) (f(x_n))) = f(f(x)). Mivel egy szigorúan monoton függvény mindig injektív, ezért lim(n -> végtelen) (f(x_n)) = f(x). Hasonló okokból lim(n -> végtelen) (f(y_n)) szintén f(x) lesz, és be is bizonyítottuk, amit kellett.