Szorozzuk össze az első 80 pozitív egész számot! a. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám amellyel nem osztható a szorzat? b. Hány 0ra végződik a szorzat? c. Lehet a szorzat négyzetszám?

Melyik a legkisebb szám, ami nem osztja: nyilván 1-80-ig minden egész számmal oasztható a szorzat. Menjünk sorba;

81-gyel osztható, mivel 81=3*3*3*3, és négy 3-as szorzó található a számok között (elég csak a 3;6;9 számokat előszedni). A hányados pontos értéke is megadható: 1*2*4*5*2*7*8*10*11*...*80.

82=2*41, mindkét szorzótényező megtalálható, ezért szintén tudjuk osztani vele a szorzatot. Az eredmény: 3*4*5*...*40*42*43*...*80.

A 83 prímszám, viszont a szorzatból sehogyan sem szedhető ki a 83, tehát 83-mal nem osztható, tehát a keresett szám a 83.

Hány 0-ra végződik; annyira, ahány 5-ös tényezőt ki tudunk belőle szedni. Az 5-tel osztható tényezők: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, az ekezből kisezdhető 5-ös szorzók száma: 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, tehát összesen 1+1+1+1+2+1+1+1+1+2+1+1+1+1+2+1=19, tehát 19 darab 0-ra végződik.

Lehet-e négyzetszám: ez többféleképpen is meghatározható, de ha már végigszenvedtük a végződő 0-k számának kiszámítását, akkor induljunk ki abból; azt biztosan tudjuk, hogy minden 0-ra végződő négyzetszám páros sok 0-ra végződik (100, 10000, 1000000, 100000000, stb.). Ez a szám 19 darab 0-ra végződik, a 19 pedig páratlan, tehát ez a szám biztosan nem lehet négyzetszám.