Van 2n + 1 darab egymást köv. Poz. Egész szám úgy, hogy az első n + 1 darab szám összege egyenlő a következő n szám összegével. Hogy bizonyítod be, hogy a legkisebb szám négyzetszám?

Legyen a legkisebb szám x, ekkor a k-adik szám x+k-1 alakú, így az n+1-edik szám x+n. Ha az n+2-edik számból, ami x+n+1, kivonjuk az első tagot, akkor n+1-et kapunk, ha az azutániból a másodikat, akkor is n+1-et kapunk, és így tovább, ekkor az első n+1 számból x+n marad (azt már nem tudjuk miből kivonni), az azutániakból pedig n*(n+1)=n^2+n. Mivel mindkét összeget azonos mértékben csökkentettük, ezért ez a két kifejezés is egyenlő lesz egymással:

x+n=n^2+n, vagyis x=n^2, tehát x valóban négyzetszám, sőt, azt is meg tudjuk így mondani, hogy a sorozat 2*gyök(x)+1 hosszúságú lesz, például ha x=25, akkor gyök(x)=gyök(25)=5, vagyis 2*5+1=11 szám kell ahhoz, hogy a fenti teljesüljön: 25+26+27+28+29+30=165, 31+32+33+34+35=165.

Egy másik gondolatmenet:

[link]