Egy háromszög kerülete 20 cm, oldalai egész számok. Milyen hosszúak lehetnek az oldalak?

A leghosszabb oldal (lehet 2 egyforma hosszú is) legalább 7 cm, mert 3*6=18cm, kevés.

De nem lehet hosszabb, mint 9cm. Mert egy háromszög bármely oldala rövidebb, mint a másik 2 összege.

Tehát a leghosszabb oldal 3 féle lehet. Ezeket az eseteket külön lehet választani és a maradékból először kiválasztania középső oldalt, ami nem lehet hosszabb, mint a leghosszabb oldal és nem lehet rövidebb, mint a maradék fele. Innen már csak egyszerű esetfelírás.

Az első válasz jó, de egy kicsit áttekinthetőbb, hogyha levonjuk azt a következtetést, hogy a háromszög legnagyobb oldala (szigorúan) kisebb, mint a háromszög kerületének fele. Ezt nem is olyan bonyolult bizonyítani; legyan a három oldal a<=b<=c, ekkor a háromszög-egyenlőtlenséget írjuk fel a c oldalra (ami biztosan a legangyobb):

a + b > c

Adjunk mindkét oldalhoz c-t:

a + b + c > 2*c

Végül osszunk 2-vel:

(a+b+c)/2 > c

A bal oldalon az a+b+c az maga a háromszög kerülete, tehát az (a+b+c)/2 az a kerület fele. Tehát a legnagyobb oldal mindig kisebb a kerület felénél.

Esetünkben azt mondhatjuk, hogy a háromszög legnagyobb oldala 10 cm-nél kisebb, vagyis legfeljebb 9 cm hosszú lehet (ami az 1-es válaszban is szerepel, csak más megközelítésben).