Mennyi a sqrt(3*sinx)-sinx különbség lehetséges legnagyobb értéke?

Ez szélsőérték feladat.

Deriválni kellene.

Legyen f(x)=sqrt(3sinx)-sinx

f'(x)=1/(2sqrt(3sinx))*3cos(x)-cos(x)=0

(Ugye a deriváltnak nullának kell lennie szélsőérték helyen.

Emeljük ki cos(x)-et:

cos(x)*(3/(2sqrt(3sinx))-1)=0

Így tehát egyrészt cos(x)=0, vagyis x=pi/2, amit te is megtaláltál.

A másik mo:

3/(2sqrt(3sinx))-1=0

3=2sqrt(3sinx)

9=4*3sinx

Sin(x)=9/12

x=0,848

A kettő közül a nagyobb a maximum... :D

Remélem nem számoltam el.

Megelőlegzem, hogy tudsz, elvégre a trigonometriát jóval megelőzi a másodfokú függvények témaköre.

Először végezzük el a gyökvonást; gyök(3)*gyök(sin(x))-sin(x)

Most használjunk egy helyettesítést; legyen gyök(sin(x))=k, ekkor nyilván sin(x)=k^2, tehát ezt a kifejezést kapjuk: gyök(3)*k-k^2. Ez egy másodfokú kifejezés, ami alapvetően értelmezhető a valós számok halmazán, de mivel az eredeti függvényben a gyök(sin(x)) értéke csak 0 és 1 között tud mozogni, ezért a függvény értelmezési tartománya a [0;1] intervallum.

Nézzük meg, hogy ennek a másodfokú kifejezésnek hol van a maximuma; ha van egy kis szerencsénk, akkor a maximum helye pont beleesik a [0;1] intevallumba (ha meg nincs, akkor más taktikára lesz szükség). A másodfokú kifejezés maximumhelye több módon is meghatározható, a legegyszerűbb talán most az, hogyha szorzattá alakítunk egy egyszerű kiemeléssel: -k*(k-gyök(3)). Ebből kiolvashatóak a kifejezés gyökei (vagyis hogy a 0 értéket hol veszi fel), ez a k=0 és k=gyök(3) helyek. Tudjuk, hogy másodfokú függvény szélsőértékének helye mindig ugyanolyan távolságban van a két gyöktől (ha léteznek), ez azt jelenti, hogy ennek a függvénynek a szélsőértékhelye: k=gyök(3)/2, ami szerencsére pont beleesik a [0;1] intervallumba.

Tehát az eredeti függvény szélsőértékehelye ott van, ahol a gyök(sin(x))=gyök(3)/2 egyenletnek megoldása van. Innen be tudod fejezni?

Persze a 2-es megoldása is jó (ha nem számolta el), de ha nem tudsz deriválni, akkor azzal nem fogod tudni megoldani. Ezek fényében vitatnám azt, hogy "deriválni kellene"; az legfeljebb egy lehetőség.