Egy szabályos dobókockával háromszor egymás után dobunk. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy valamelyik dobott szám a másik két dobott számnak számtani vagy mértani közepe?

Összes eset: 6*6*6 = 216

Kedvező eset: aszerint kell megnéznünk, hogy mi az első két dobás.

Számtani közép: azt kell megnéznünk, hogy dobunk-e azonosat vagy sem;

-ha dobunk azonosat, akkor 6-féle lehetőség van (111-től 666-ig).

-ha nem dobunk azonosat, akkor azt kell megértenünk, hogy akkor lehet a számtani közép a harmadik szám, hogyha az első két dobott szám paritása megegyezik. Ilyen dobásokból (6*3)/2=9-féle van, de ezen számok 3!=6-félekéépen követhetik egymást, tehát 9*6=45 esetben teljesül a feltétel.

Mértani közép: azok a dobások jók nekünk, amelyben az első két dobott szám szorzata négyzetszám. A legkisebb négyzetszám, ami dobható, az 1, a legnagyobb a 36, ezek között a 4;9;16;25 négyzetszámok szerepelnek. Azt kell megnéznünk, hogy ezek hogyaníg írhatóak fel két szám szorzataként;

1=1*1, tehát az 111 számsort kapjuk.

4=1*4 vagy 2*2, tehát az 142 és a 224 számsorokat kapjuk, előbbiből 6, utóbbiból 3 számsor képezhető.

9 = 33, tehát a 333 számsort kapjuk.

16 = 4*4, tehát a 444 számsort kapjuk.

25 = 5*5, tehát az 555 számsort kapjuk.

36 = 6*6, tehát a 666 számsort kapjuk.

Innen be tudod fejezni?

Számtani középre a feltétel azt jelenti, hogy a dobott számokat, ha növekvő sorrendbe rakjuk, számtani sorozatot alkotnak. Ennek a differenciája d lehet 0, 1, 2.

d=0-ra 6 db számtani sorozat van, mivel a tagok mind azonosak, a sorrend nem számít = 6

d=1-re 4 db van, de mivel különböznek a tagok, a sorrend is számít = 4*3!

d=2-re 2 db van, de mivel különböznek a tagok, a sorrend is számít =2*3!

Tehát a kedvező estek száma: 6+4*3!+2*3!

Az összes eset pedig = 6^3