A, B, C páronként 100 m-re vannak egymástól a síkon. Állandó és ugyanolyan sebességgel mozognak úgy, hogy minden pillanatban A B felé tart, B C felé, C A felé. Mennyi utat tesz meg A a találkozásig?

A három ember egy egyenlő oldalú háromszögön van, a középpontjától r=gyök(3)/3*100 méterre. Ha elindulnak, egy másik, elforgatott, kisebb egyenlőszárú háromszög csúcsaiba kerülnek, aminek ugyanaz a középpontja. Ebben a középpontban fognak találkozni.

Egy kicsi s út megtételével gyök(3)/2*s távolságot haladnak a középpont felé. Ennyivel csökken a sugár. Mire a sugár nullává válik, a sugár 2/gyök(3)-szorosa lesz "A" útja. Vagyis 2/3*100m.

"egy másik, elforgatott, kisebb egyenlőszárú"

javítás

"egy másik, elforgatott, kisebb egyenlő oldalú"

#4

"Ha forog a háromszög, akkor nem egyenes pályán halad A."

Nem bizony.

De egy kis lépést lehet egy egyenessel közelíteni. És ezekből az apró egyenes szakaszokból adódik össze a görbe pálya, aminek a hossza a kicsi szakaszok hosszának összege.

Ha polárkoordinátákra térünk át r = r(φ), és kihaszanálva azt, hogy a ponthoz húzott sugár és a pontbeli érintő 30°-os (illetve 150°-os) szöget zár be, kapjuk, hogy a ds ívelemre

ds = -(2/√3)dr

így ezt integrálva a megtett út valóban (2/√3)*100 m.

De milyen görbe lesz ez? Az ívelemre általánosságban igaz az, hogy:

ds² = r²dφ² + dr²

Használjuk fel a korábbi észrevételt:

(4/3)dr² = ds² = r²dφ² + dr²

(1/3)dr² = r²dφ²

A gyökvonásnál felhasználjuk, hogy r(φ) monoton csökkenő:

dr/dφ = (-√3)r

ami egy elsőrendű diffegyenlet r(φ)-re.

Megoldása pedig:

r(φ) = c*exp{-√3φ} valamilyen c konstanssal, azaz

a logaritmikus spirál.