Abszolút érték egyenletet hogyan számolok?

Tehát az egyenlőtlenséged így néz ki: | ( -10n + 60 ) / ( 5 * (n ^ -10) ) | < 5

Ez azt jelenti, hogy a bal oldalon lévő egyenlet nagyobb, mint -5, és kisebb, mint 5. Mivel a nevező mindenképp pozitív, így két esetet kell vizsgálnod: -10n + 60 >= 0 vagy -10 + 60 < 0. Az első esetén a n <= 6, és az egyenlőtlenség így néz ki:

( -10n + 60 ) / ( 5 * (n ^ -10) ) < 5

A második eset akkor van, ha n > 6, ekkor ezt az egyenlőtlenséget kell megoldanod:

( 10n - 60 ) / ( 5 * (n ^ -10) ) < 5

Mindkét esetben be tudsz szorozni a nevezővel, mivel tudjuk róla, hogy pozitív, és onnan már csak meg kell oldani n-r, ami nagyobb, mint 6 vagy kisebb-egyenlő.

#3, a nevező 5n^2 - 10.

A feladatot ugyanúgy kell elkezdeni, mint akármilyen ||-egyenletet, vagyis azt kell megnéznünk, hogy az ||-en belüli kifejezésnek mikor milyen az előjele. Ehhez külön-külön vizsgálnunk kell a számláló és a nevező előjelét. Először is vegyük észre, hogy ha 10n-60=0, vagyis ha n=6, akkor a számláló értéke 0, tehát a tört értéke is, tehát az n=6 megoldása az egyenletnek. Érthető okokból ha n>6, akkor a számláló előjele negatív, ha pedig n<6, akkor pozitív lesz. Táblázatban ez így foglalható össze:

n<6 | n=6 | n>6

+ | 0 | -

Most nézzük a nevezőt, ehhez oldjuk meg az

5n^2 - 10 = 0 egyenletet, ennek két megoldása n=gyök(2) és n=-gyök(2). Ha n ezen két érték közé esik, akkor az 5n^2 - 10 előjele negatív lesz, ha ezek a részen kívül van, akkor pozitív. Táblázatban ez így néz ki:

n<-gyök(2) | n=-gyök(2) | -gyök(2)<n<gyök(2) | n=gyök(2) | n>gyök(2)

+ | 0 | - | 0 | +

A tört előjelét úgy tudjuk meghatározni, hogy ezt a két táblázatot egy táblázatba foglaljuk, és megnézzük, hogy az előjelek hányadosa mi lesz, ehhez ezt a táblázatot írjuk fel:

n<-gyök(2) | n=-gyök(2) | -gyök(2)<n<gyök(2) | n=gyök(2) | n>gyök(2) | n=6 | n>6

+ | + | + | + | + | 0 | -

+ | 0 | - | 0 | + | + | +

A függőlegesen lévő előjelek hányadosát nézzük (a felsőt osztjuk az alsóval):

+ | nem értelmezhető | - | nem értelmezhető | + | 0 | -

Ebből az olvasható ki, hogy

-ha n<-gyök(2) vagy gyök(2)<n<6, akkor a tört értéke pozitív,

-ha -gyök(2)<n<gyök(2) vagy n>6, akkor a tört értéke negatív,

-ha n=6, akkor a tört értéke 0, tehát az n=6 megoldás,

-ha n=gyök(2) vagy n=-gyök(2), akkor a kifejezés nem értelmezhető.

Most, hogy ezek megvannak, az || eszerint eltüntethető;

-ha n<-gyök(2) vagy gyök(2)<n<6, akkor a tört értéke pozitív, akkor ez lesz az egyenlőtlenség:

(-10n+60)/(5n^2 -10) < 5

Alapvetően az ilyen egyenlőtlenséget úgy szokás megoldani, hogy a jobb oldalt 0-ra redukáljuk, viszont a vizsgált számhamazon a nevező előjele végig pozitív, ezért a legnagyobb lelki nyugalommal lehet szorozni a nevezővel, így a

-10n+60 < 25n^2 - 50 egyenlőtlenséget kapjuk, amit már könnyű megoldani, a megoldáshalmazt pedig mindenképp össze kell vetnünk azzal a számhalmazzal, amin elkezdtük a vizsgálódást.

-ha -gyök(2)<n<gyök(2) vagy n>6, akkor a tört értéke negatív, tehát ezt kapjuk:

-((-10n+60)/(5n^2 -10)) < 5, vagy másként:

(-10n+60)/(5n^2 -10) > -5, itt két lehetőségünk van; vagy úgy számolunk, hogy a jobb oldalt 0-ra redukáljuk, vagy a viizsgált számhalmazt tovább bontjuk aszerint, hogy a nevező előjele mi;

-ha n>6, akkor a nevező előjele pozitív, így újra minden további nélkül szorozhatunk a nevezővel;

-10n+60 > -25n^2 + 50, és ezt megoldjuk, viszont ennek a megoldáshalmazát a már tovább szűkített n>6 halmazzal kell egybevetni.

-ha -gyök(2)<n<gyök(2), akkor a nevező előjele negatív, így a nevező szorzásával a relációs jel megfordul:

-10n+60 < -25n^2 + 50, és ezt kell megoldanunk, aminek a megoldását a -gyök(2)<n<gyök(2) számhalmazzal kell egybevetni.

Ha az n pozitív, akkor értelemszerűen csak a pozitív számhalmazon kell ezt végigcsinálni.

"A feladatot ugyanúgy kell elkezdeni, mint akármilyen ||-egyenletet, vagyis azt kell megnéznünk, hogy az ||-en belüli kifejezésnek mikor milyen az előjele."

És azután számoljunk 3 képernyőn keresztül?

Az abszolutértékjelet tartalmazó egyenleteket (vagy egyenlőtlenségeket) úgy kell megoldani, hogy kettéválasztjuk aszerint, hogy az abszolutértékes mennyiség negatív vagy nemnegatív.

Így eltűntethetjük az abszolutértékjelet és egy helyett két egyenletet kapunk. Külön-külön mindkettőt megoldjuk és utána visszahelyettesítünk. Ha nem teljesül az eredeti feltétel, akkor az nem megoldás.

"És azután számoljunk 3 képernyőn keresztül?"

Ha a feladat megköveteli, akkor igen (írásban egyébként nem lenne 3 képernyő, kb. negyed oldalra kiférne nekem, csak a kommentár miatt lett ennyire hosszú).

De várom a te "rövidebb" megoldási módodat.

#8

Igazad van. Én sem tudtam 1 képernyőnél rövidebb megoldást találni, pedig én nem használok dupla soremeléseket és a magyarázat is kevesebb.

Az előjelek táblázatos felírása nálad hatékony és könnyen érthető.