Szelsoertek számítás?

Mert ha az kell, hogy általában mennyi, akkor még az elejére kellene egy (6 alatt a 2)-es szorzó, azonban ennek elhagyása a megoldási módszeredet nem befolyásolja.

Illetve annyiban befolyásolja, hogy ebben a formában nem fogsz tudni úgy variálni, hogy a végén minden n eltűnjön. Azonban -ha jól gondolom- ha a kifejezést a megfelelő konstanssal megszorzod, majd a konstansokat „szétosztod” jól a tényezők között, akkor ki tud esni a végén az összes n.

Például az n*(1-n)*(1-n) esetén ugyanaz a helyzet áll elő. Azonban ha beszorzol 2-vel, akkor a 2n*(1-n)*(1-n) kifejezést már tudod felülről becsülni, mivel összeadás után 2 marad, egyébként meg 2/3. Persze ezzel változik az érték, de ez nem baj, mert nekünk a helyre van szükség és nem az értékre. Fontos viszont megjegyezni, hogy a pozitív konstanssal való beszorzás a maximum helyét nem változtatja meg, emiatt lehet probléma nélkül szorozni.

Így van.

Nézd meg például az (1-x^2) függvényt. Ha ezt szorzod akármilyen pozitív számmal, mindig az x=0 helyen lesz a maximuma (aminek értéke a szorzással váltotik). Ugyanez a helyzet akármelyik másik függvény esetén is.

Jó meglátás. A „precíz” megoldás valóban az lenne, hogy szorzol/osztol, és akkor csak a szorzás eredményével foglalkozol, de esetünkben ez csak fölösleges túlvariálás lenne, mivel kényelmi okokból szorzunk a megfelelő számmal.

Másik érdekesség, amire lehet még figyelni; ha megnézed, akkor a jelenlegi feladat felírható úgy is, hogy (n^2*(n-1))^2. Ahogy a beszorzás nem változtat a maximum helyén, úgy a négyzetre emelés sem (persze csak ha a függvényértékek mind pozitívak, esetleg 0), tehát annyival tudjuk a saját életünket egyszerűsíteni, hogy csak az n^2*(n-1)-et vizsgáljuk a szélsőérték szempontjából. De ez már csak egy extra adalék ehhez a feladathoz.

Azért majd írd meg, hogy mi jött ki, érdekelne :)

Egyébként függvények szélsőértékét majd deriválással fogjátok vizsgálni a későbbiekben, ami persze nem mindig használható megfelelően, de azért egy kicsit többször, mint a nevezetes közepek közti összefüggés.

Kicsit bevittelek ezzel a beszorzásos témával az erdőbe, de azért nem teljesen. Amit írtam, az igaz, csak rossz következtetés lett levonva. Ami rossz (illetve nem teljesen jó), hogy ezzel a módszerrel nem feltétlenül kapod meg a „jó” maximumot, ugyanis a fenti ötletem többféleképpen is megoldható (én arra asszociáltam, hogy az (1-n)-eket külön-külön szorzom 2-vel), azonban a lényegi részt te fogtad meg (bár rosszul, de nem baj, abból tanul az ember); a közepek között akkor (és csak akkor) lehet egyenlőség, hogyha a számok egyenlőek egymással. Szóval amire inkább hajtani kellene, az az, hogy MINDEN szám egyenlő tudjon lenni. Persze ez az alapfelállásban is működik az n=1/2-re, csak ott meg az a baj, hogy az n-nek nem esnek ki. Tehát úgy kellene variálni, hogy az n-ek ki tudjanak esni ÉS minden tag egyenlő tudjon lenni egymással.

A 3-mal való beszorzásod ezért nem működik, elvégre az n=n=n=n=3*(1-n)=1-n egyenletrendszernek nincs megoldása.

Nézzük az én asszociációmat; szorozzunk 2-2-vel, ekkor az n=n=n=n=2(1-n)=2(1-n) egyenletrendszernek lesz megoldása, ami az n=2/3, tehát az egy „jó átalakítás” lesz. Írjuk fel a közepek közti összefüggést;

hatodikgyök[n*n*n*n*2(1-n)*2(1-n)] <= (n+n+n+n+2(1-n)+2(1-n))/6 = 4/6 = 2/3, tehát a maximum 2/3 lesz, amit az n=2/3 esetén ér el (véletlen egybeesés). Ha az eredeti maximumát akarjuk megtudni, akkor csak „oldjuk meg” az egyenlőtlenséget; ez alatt most azt értem, hogy az eredeti kifejezésnek kell megjelennie;

hatodikgyök[n*n*n*n*2(1-n)*2(1-n)] < 2/3, hatodik hatványra emelünk;

n*n*n*n*2(1-n)*2(1-n) < 2^6 / 3^6, osztunk 4-gyel:

n*n*n*n*(1-n)*(1-n) < 2^4 / 3^6, itt az eredeti kifejezés, tehát annak maximuma 2^4 / 3^6 = 16/729. Ez a legnagyobb valószínűség az FFFFII-re. Ahogyan az elején írtam, hogy ha az általában vett 4 fej-2 írás valószínűsége kell, akkor az eredményt szorozni kell (6 alatt a 2)=15-tel, így az eredmény 240/729 = 80/243.

Felvetődhet a kérdés, hogy ez hogyan érhető el a fej-írás esetén. A válasz az, hogy ha érmével csináljuk, akkor nehezen. Ehelyett vegyünk egy 6 oldalú dobókockát, amelyen 4 oldalt kinevezünk fejnek, a másik két oldalt írásnak, ezzel tudjuk a kérdéses dobássorozat valószínűségét maximalizálni.