Matematika : sorozatok Elakadtam a feladat megoldása közben. Tudnál segíteni?

a2=6, mivel ha összeszorzod a mértani sorozat első 3 tagját, akkor a hányados eltűnik: a2/q*a2*a2*q=a2^3

Ez ahhoz hasonló, mint amikor a számtani sorozatban 3 egymás utánit összeadsz. Olyankor az összeg harmada a középső, itt pedig a 3. gyöke.

a2-a2/q=(a2*q-3)-a2

a2 helyére beírod a már megkapott 6-ot, rendezgeted egy kicsit, és kapsz q-ra egy másodfokú egyenletet.

Nyugi, nem kell kétségbe esni, a matek nagyon szép és logikus tudomány. :-)

Tudjuk a következőket:

A mértani sorozat: a1; a2; a3 a megadott feltétel

(A) a1*a2*a3* = 216

A számtani sorozat: a1;a2; a3 - 3

Ez a képzési szabály is felfogható egy feltételnek, mint később kiderül

Mivel a mértani sorozatra van megadva egy használható feltétel, ebből lehet kiindulni.

Egy egyenletben 3 ismeretlen van, ebben a formában nem lehet megoldani, valahogy csökkenteni kellene az ismeretlenek számát. Ezt úgy lehet elérni, hogy a középső taggal írjuk fel a többieket. Ez minden olyan feladatban -legyen az számtani vagy mértani sorozat - alkalmazható, ahol 3 egymásra következő tag van megadva.

Így lesz

a1 = a2/q

a2 = a2

a3 = a2*q

Ha ezeket behelyettesítjük a (A) feltételbe, a következőt kapjuk:

a2/q*a2*a2*q = 216

A bal oldalon a szorzás után a q kiesik, és marad

(a2)³ = 216

a2 = 6

=====

Ez még kevés az üdvösséghez, így további meggondolások szükségesek.

Mivel a két sorozat első két eleme azonos, ezért elég lenne ezeket meghatározni.

A számtani sorozattal az egyedül ismert a2 ismeretében nem lehet mit kezdeni, de - és itt jön a trükk - a SZÁMTANI sorozatot fel lehet írni a MÉRTANI sorozatra érvényes szabályok szerint képzett tagokkal, figyelembe véve a számtani sorozat képzésére megadott szabályt (a1; a2; a3 - 3)

Vagyis a számtani sorozat ennek figyelembe vételével a következő lesz (az 'as' a számtani sorozat tagját jelöli):

as1 = a1 = a2/q

as2 = a2

as3 = a3 - 3 = a2*q - 3

Ezekből a 'q'-t lehet megkapni, ha találunk valami kapcsolatot a tagok között. Ez pedig a számtani sorozatra érvényes összefüggés, miszerint az egymást követő tagok különbsége állandó (d).

Vagyis

as2 - as1 = as3 - as2

illetve behelyettesítve az ismert a2 értékét

6 - 6/q = (6*q - 3) - 6

Nullára rendezve és az állandókat összevonva lesz

0 = 6*q + 6/q - 15

Mindkét oldalt 'q'-val szorozva

0 = 6*q² - 15*q + 6

Lehet egyszerűsíteni, mindkét oldalt 3-al osztva

0 = 2*q² - 5*q + 2

Az egyenletet megoldva

q1 = 2

q2 = 1/2

Első látásra nem lehet eldönteni, melyik gyök jó, ezért próbáljuk meg először az elsővel (2). A mértani sorozat feltételébe behelyettesítve adódik, hogy

a1 = 3

a2 = 6

a3 = 12

Ezzel tulajdonképpen meg is lennénk, mert mivel a számtani sorozat első két tagja egyenlő a mértani sorozat első két tagjával, a számtani sorozat differenciája

d = a2 - a1

d = 3

így a keresett számtani sorozat

3; 6; 9

=====

A mértani pedig

3; 6; 12

---------------------------

Hiányzik még a második (1/2) gyök vizsgálata. Ezzel a sorozatok a következők lesznek:

A mértani sorozat

12; 6; 3

a számtani

d = a2 - a1 = -6

12; 6; 0

Tehát mindegyik gyök kielégíti a feladat feltételeit.

Remélem elég részletes lett a levezetésem. :-)

DeeDee

************