Egy konvex sokszögben az átlók metszéspontjainak száma 8855, és semelyik 3 átló sem megy át ugyanazon a ponton. Hány oldalú a sokszög?

Nem túl szép megoldás:

Kiszámoltam 3-tól hétszögig:

0, 1, 5, 15, 35

Beírtam az integer sequence keresőbe:

0, 1, 5, 15, 35, __, 8855

Kiadta ezt:

[link]

..és valóban a legelső comment:

"Number of intersection points of diagonals of convex n-gon where no more than two diagonals intersect at any point in the interior."

n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24 = 8855

És hogy ez a képlet miből jön;

Minden metszésponthoz pontosan két átló tartozik (triviális ténymegállapítás, de fontos). Ezeknek az átlóknak különbözőek a végpontjaik (mivel az eredeti síkidomunk konvex), ezáltal egy konvex négyszöget határoznak meg. Tehát minden átlómetszésponthoz rendelhető pontosan egy konvex négyszög, amelyet az átlók végpontjai határoznak meg, és nyilván minden konvex négyszögben pontosan egy metszéspont van, tehát a metszéspontok és ezek a konvex négyszögek kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésben vannak, tehát ha az egyiket meg tudjuk számolni, akkor a másikat is. Hogy az n>=4 oldalú (csúcsú) négyszög csúcsai hányféle négyszöget határoznak meg, arra a válasz (n alatt a 4), használva a definíciót az n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/4!, vagyis az n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24 kifejezést kapjuk. Ennek kell 8855-nek lennie:

n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24 = 8855

Hogy ez az egyenlet hogyan oldható meg, arra többféle megoldási mód lehet. Én így szoktam az ilyeneket megoldani;

-ha minden tényező helyére n-t írunk, akkor n*n*n*n=n^4 hatványt kapjuk. Ezzel a leváltással a szorzat értéke bizotsan nagyobb, mint az eredeti, tehát

n^4/24 > 8855, ennek megoldása n>~21,47

-ha minden tényezőt (n-3)-ra cserélünk le, akkor a szorzat (n-3)^4 lesz. Ezzel a szorzat értékét csökkentettük, vagyis

(n-3)^4/24 < 8855, vagyis n-3<~21,47, tehát n<24,47

A két egyenlőtlenségnek egyszerre kell teljesülnie, tehát 21,47<n<24,47, tehát n értékére a szóbajöhető megoldások: 22, 23, 24, ezeket kell csak letesztelni;

n=22 esetén 22*(22-1)*(22-2)*(22-3)/24 = 7315, kevés

n=23 esetén 23*(23-1)*(23-2)*(23-3)/24 = 8855, ez pont jó

A rend kevéért azért nézzük meg az n=24 esetet is; 24*(24-1)*(24-2)*(24-3)/24 = 10626, ez már sok.

Tehát a keresett négyszögnek 23 csúcsa van.