Valószínűségszámítási feladat?

megnézed mennyi az összes eset

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 3 2 4 2 5 2 6 stb...

majd a kedvező esetek számát

és kijön hogy x az y-hoz

Egy kissé fáradságos, de eredményt hozó módszer:

Meg kell határozni, hogy mennyi a valószínűsége, hogy az n-edik dobással Ákos nyer, ha tudjuk, hogy előtte egyikük sem nyert.

Meg kell határozni, hogy mennyi a valószínűsége, hogy az n-edik dobással Bálint nyer, ha tudjuk, hogy előtte egyikük sem nyert.

A két valószínűséget össze kell adni, megszorozni n-el. Felösszegezni n=1-től N-ig és elosztani N-el. Ez utóbbi szám határértékére vagyunk kiváncsiak, ha N tart a végtelenhez.

#2

"megnézed mennyi az összes eset"

Mármint vizsgáljon le 6 a végtelenediken esetet? És én még azt gondoltam, hogy a 3-as módszer fáradságos. :-)

#2

Az üzeneted alapján nem vicc volt. Akkor dupla bocs.

Nagyon jó módszer. Nagyon tetszik.

Szerintem ehhez a geometriai eloszlással kell számolni.

Este megnézem ha addig nem lesz megoldás.

Írtam egy scriptet a kiszámításra és kaptam egy elsőre meglepő, de utólag belegondolva nagyon is logikus eredményt.

A várható érték 2, azaz két dobás után ér véget a játék a legnagyobb valószínűséggel.

A következő számok közelítő értékek!!

2. dobásnál ér véget 0.0556 valószínűséggel

3. dobásnál ér véget 0.0508 valószínűséggel

4. dobásnál ér véget 0.0486 valószínűséggel

5. dobásnál ér véget 0.0459 valószínűséggel

6. dobásnál ér véget 0.0434 valószínűséggel

..és hogy miért gondolom, hogy jó ez a megoldás?

Az első esetben (hogy 2 dobásnál vége is) annyi a feltételünk, hogy két 1-es legyen vagy egy 5-ös és utána egy 6-os.

Ha a 3. dobásnál ér véget, akkor ugyanennek a feltételnek kell teljesülni, de még azt is kikötjük, hogy az első két dobás nem felel meg a játék vége feltételeinek.

Az még hátra van, hogy egy képlettel is kiszámítsam.

Ha valakinek van kedve, nyugodtan megteheti helyettem.

Vagy persze meg is cáfolhatjátok, amit írtam.

Csak 95%-ban vagyok biztos benne. :D

#7

"Szerintem ehhez a geometriai eloszlással kell számolni."

Nagyon úgy néz ki. És akkor a nagy elődök már kiszámolták helyettünk a várható értékeket. Ezzel csak az a baj, hogy független kisérletek sorozata kell. De az n-edik dobás utáni eredmény függ az n-1-edik dobástól ezért nem mondhatjuk, hogy minden dobással egy független eseményünk van.

Eszembe jutott egy trükk. Tegyük fel, hogy a dobássorozatot két független bizottság értékeli ki. Az egyik a páros dobást és az előtte levőt. A másik a páratlan dobást és az előtte levőt. Ez már független 2 kockás dobásokból álló kisérletsorozatokat jelent.

Ha valamelyik bizottság nyertest talál, bedob n zsetont egy-egy urnába. Mindkét urnában egy-egy geometriai sorozat eredményének várható értéke lesz. A két urna tartalmát összeadhatjuk, szorozhatjuk 2-vel és még az egyikhez hozzáadhatunk 1-et, meg hasonló finomságok. És akkor az lesz az összetett kockadobálás várható értéke.

Ehhez mit szóltok?

Eddig jutottam:

Annak, hogy az első dobásra vége legyen, nyilván 0 a valószínűsége, hiszen az utolsó 2 dobásból állapítjuk meg, ki nyert.

A 2. dobás után 1/18 valószínűséggel ér véget, mert 1/6*1/6 az esélye az egymásutáni két 1-egysnek, valamint ugyanennyi az 5, majd 6-nak is.

Ez kb. 0.055555.. ami egyezik a #6-osban lévő közelítéssel.

A 3. dobásnál 6^3=216 lehetőség van a dobásokra (számít a sorrend).

Ebből 11 olyan van, amire itt véget ér a játék, de korábban nem.

[23456]11 (5 lehetőség)

[123456]56 (6 lehetőség)

Tehát 11/216 a valószínűség. (kb. 0.050926, ami ismét közel van a fenti eredményhez).

Ugyanezt kiszámíthatjuk máshogy is:

Azt már tudjuk, hogy 1/18 az esélye, hogy a 2. és 3. dobással kijön az 11 vagy 56.

Mennyi az esélye, hogy az első két dobásból viszont nem?

Azt tudjuk, hogy a 2. dobás csak 1 vagy 5 lehet. Tehát 12 lehetőségünk van.

Ha 11-gyel fejeződött be a játék, akkor csak 1-gyet nem dobhattunk elsőre, vagyis 5 lehetőség van, hogy ott nem ért véget.

Ha 56-tal ért véget, akkor bármi lehetett az első dobás, az 5 nem fejezhette be, vagyis itt 6 a lehetőség.

Szóval 11/12 az esélye, hogy a 2. dobásnál nem fejeződött be, abban az esetben, hogy a harmadiknál igen.

1/18 * 11/12 = 11/216

Ebből fel lehet már írni valamilyen egyenletet vagy még mindig nem? :D