2X(négyzeten)-5X+2=0 levezetése?

Itt nem kell semmit átalakítgatni, ha arra gondolsz.

A másodfokú egyenlet megoldóképletével megkapod a megoldás(oka)t.

Azt már tanultátok?

Igen, csak be kell helyettesítened.

Az "a" mindig az x^2 együtthatója.

Ha nincs elé írva semmi, csak x^2, az 1-et jelent.

"b" az x-nek az együtthatója. Ez akár hiányozhat is az egyenletből, akkor 0.

A "c" pedig a konstans szám. Ez is lehet 0.

Ha a gyök alatt negatív szám jönne ki, akkor az a megoldás, hogy az egyenletnek a valós számok halmazán nincs megoldása.

Jelen esetben:

a = 2

b = -5

c = 2

x₁,₂ = (-b +/- √(b^2 - 4ac)) / 4 = (5 +/- √(25-16)) / 4

= (5 +/- 3) / 4

x₁ = (5 + 3) / 4 = 2

x₂ = (5 - 3) / 4 = 0.5

Gyöktényezős alakba is fel lehet írni. Akkor elég csak kiolvasni a megoldás(oka)t.

Ezt úgy tudod megtenni, hogy felírod először ezt: (x )(x )=0. Ez így egy nagyon hiányos egyenlet. Hiányzik 2 műveleti jel (+ vagy -) és két konstans. Ezeket ránézés útján meg lehet tenni. Az alap egyenletben 2x² van, emiatt már is lehet írni úgy, hogy: (x )(2x )=0. Mert ha kibontanád a zárjóleket, akkor az x és a 2x szorzata fog 2x²-t adni. Ezután meg kell nézni, hogy hogyan lehet -5x-et és +2-t kapni. A +2 az biztosan a 2 hiányzó konstans szorzata lesz. Ez csak az 1 és a 2 szorzataként állhat elő. Az előjel mindkettő előtt vagy + vagy -, vegyesen nem lehet mert akkor a szorzatok is mínusz lesz. Mivel -5x van, ezért ezek valószínűleg mínuszok lesznek. Ilyenkor 2 lehetőség van, a számok pozícióját illetően. Vagy úgy fog kinézni a gyöktényezős alak, hogy (x-1)(2x-2)=0 vagy úgy, hogy (x-2)(2x-1)=0. Ilyenkor meg kell nézni, hogy az egyik jó megoldást ad-e. Ez közel sem biztos, nem mindig lehet így felírni a másodfokú egyenleteket! Az első opciónál felbontva a zárójelet 2x²-2x-2x+2=0-t kapunk, ami nem jó, 1-el több az x az eredeti felálláshoz képest. A másodiknál ugyanígy eljárva 2x²-1x-4x+2=0-t kapunk, ami már jó. Tehát a (x-2)(2x-1)=0 lesz a jó felírás. Viszont itt még nincs kész a dolog, mert a szorzat mindkét tagjában 1x-nek kell lennie. Tehát a második tagot el kell osztani 2-vel. De hogy ezzel az osztással ne változzon meg a függvény, ezt vissza kell rakni. Mivel szorzatról van szó, ezért elég csak odarakni az elejére. Így ez lesz a vége: 2*(x-2)(x-0,5)=0. (Igazából, hogy a *2 ott van az elején, az a megoldás szempontjából lényegtelen, el is lehetett volna hagyni, attól még ugyanott metszené az x tengelyt a függvény. De érdemes megtartani, hátha van más részfeladat is ehhez kapcsolódóan.) Itt meg már csak ki kell olvasni a megoldásokat. Az egyik a 0,5, a másik a 2. Ezeknél az x értékeknél metszi a függvény az x tengelyt.

x₁,₂ = (-b +/- √(b^2 - 4ac)) / 2a

Az előbb a végére véletlenül már rögtön a 4-et írtam a "2a" helyett. :)

#6

" A +2 az biztosan a 2 hiányzó konstans szorzata lesz. Ez csak az 1 és a 2 szorzataként állhat elő."

A feladatban nincs benne, hogy x csak egészszám lehet. 2 konstans lehet törtek vagy akár irracionális számok szorzata is.