Egyetemi matek (teljes indukció + függvény)?

Engem mondjuk érdekelne az indukciós rész:)

Szumma k=1,2,3... esetén igaz az egész.

n(n+1)^2 esetén n+1-et behelyettesítve n^3+5n^2+8n+4 jön ki.

Szumma k-t n-ig eljutva oda vissza kapok egy egyenletet, aminek a törvényszerűsége az alábbi

((3n^2+n+4)+(n-1)*(12-6n))/2 a szumma bármely elemének értékét megtudom adni egész számokat behelyettesítve. Viszont ha kifejtem az egyenletet, úgy n^2 negatív értékű lesz ami kellően nagy számok esetére negatív értéket fog adni az eredeti n-es sorral ellentétben.

11-el ellentétben én azt mondanám, hogy bijektív a függvény.

2-t nem veszi fel a 3x?

x=2/3-ban a függvény értéke kettő nem? Lehet valamit rosszul gondolok.

A függvény minden X értékéhez egy és csakis egy Y érték rendelődik. Amennyiben jól tudom a bijektív függvény lényege.

Értem.

Most, hogy leírtad, hogy "olyan 3 sor belátni".

Akkor be is látom:)

#12

"Engem mondjuk érdekelne az indukciós rész:)"

Bizonyítandó: Szumma(k=1..n)[k(3k+1)]=n(n+1)^2

1. lépés. n=1-re igaz,

mert 1*(3*1+1) = 1(1+1)^2)

2. lépés. Ha n-re igaz, akkor n+1-re is igaz

Szumma(k=1..n+1)[k(3k+1)]=(n+1)((n+1)+1)^2

Szumma(k=1..n)[(3k+1)] + (n+1)(3n+3+1)=n((n+1)+1)^2 + ((n+1)+1)^2 // a jobboldalon (n+1)-et kettéválasztottam

Szumma(k=1..n)[(3k+1)] + (n+1)(3n+3+1)=n((n+1)^2+2(n+1)+1) + (n+1)^2+2(n+1)+1 // a jobboldalon ((n+1)+1)^2-et kifejtettem

(n+1)(3n+3+1)=n(2(n+1)+1) + (n+1)(n+1)+2(n+1)+1 // levontam az n-es egyenlőséget

(n+1)(3n+3+1)=2n(n+1)+ n + (n+1)(n+1)+2(n+1)+1 // összegezzük az (n+1)-eket a jobb oldalon és látszik, hogy az egyenlőség igaz

17

Köszönöm, végre látok valamit.

Pár kérdést ha megengedsz.

"Szumma(k=1..n)[(3k+1)].... =n*((n+1)^2 // levontam az n-es egyenlőséget" sorból hova tűnik? (n az marad azt értem) Ez a lépés valahogy nem áll össze.

A végén kifejtettem az egyenlőséget és valóban kijön. Viszont te honnan látod (n+1)-es összegzés alapján, hogy egyenlő a kettő? Melyik n+1-eket összegzed? Ezt azért kérdem, mert ha az összeset nézem akkor valóban kijön a 4, de ha már a többi tagot is hozzáveszem akkor vannak n^2-es tagok is.

Utoljára pedig szummás esetben is k+(k+1) =k+ (n+1)-et kell venni? Ez hülye kérdés, de én eddig csak sima egyenleteknél láttam ilyet ezért ezt most nem igazán értem.

Köszönöm!

A 2. lépés második sorban és lejjebb a (3k+1) elől kimaradt egy k. Helyesen:

Szumma(k=1..n)[k(3k+1)] + (n+1)(3n+3+1)=n((n+1)+1)^2 + ((n+1)+1)^2

>>"Szumma(k=1..n)[(3k+1)].... =n*((n+1)^2 // levontam az n-es egyenlőséget" sorból hova tűnik? (n az marad azt értem) Ez a lépés valahogy nem áll össze.<<

Bal oldal: Szumma(k=1..n)[k(3k+1)] + (n+1)(3n+3+1)-ből kivontam Szumma(k=1..n)[k(3k+1)]-et

Jobb oldal: n((n+1)^2+2(n+1)+1) + (n+1)^2+2(n+1)+1-ből kivontam n(n+1)^2-t

"Viszont te honnan látod (n+1)-es összegzés alapján, hogy egyenlő a kettő? Melyik n+1-eket összegzed? Ezt azért kérdem, mert ha az összeset nézem akkor valóban kijön a 4, de ha már a többi tagot is hozzáveszem akkor vannak n^2-es tagok is."

Jobb oldal: 2n(n+1)+n+(n+1)(n+1)+2(n+1)+1=2n(n+1)+(n+1)+(n+1)(n+1)+2(n+1)=(2n+1+n+1+2)(n+1)=(3n+4)(n+1)

Bal oldal: (n+1)(3n+3+1)=(3n+4)(n+1)

"Utoljára pedig szummás esetben is k+(k+1) =k+ (n+1)-et kell venni? Ez hülye kérdés, de én eddig csak sima egyenleteknél láttam ilyet ezért ezt most nem igazán értem"

Szumma(k=1..n)[(3k+1)] + (n+1)(3n+3+1) itt kimaradt egy k, ahogy korábban írtam.

Helyesen: Szumma(k=1..n)[k(3k+1)] + (n+1)(3n+3+1) Itt visszavettem a szumma határát egyel és az utolsó k=n+1 tagot kivettem a szummán kívülre.

Szuper kb értem, de kicsit túl lett bonyolítva szerintem.

Szumma (k=1..n) [k(3k+1)] = n(n+1)^2

n+1 tagra:

Szumma (k=1..n) [k(3k+1)] + (k+1)*(3(k+1)+1) = (n+1)((n+1)+1)^2

Jobb oldal (n+1 bontás): n*((n+1)+1)^2 + ((n+1)+1)^2

n*((n+1)+1)^2 tag kifejtve: n*((n+1)^2+2(n+1)+1^2)

Mivel Szumma (k=1..n) [k(3k+1)] = n(n+1)^2 ezért ezek levonhatóak tehát:

(k+1)*(3(k+1)+1) = n*(2(n+1)+1^2) + ((n+1)+1)^2

és mivel szumma k=1...n ig ment mi pedig n+1 keressük, így tudjuk hogy k =n

(k+1)*(3(n+1)+1) = n*(2(n+1)+1^2) + ((n+1)+1)^2

Jobb és baloldal összehasonlítás kifejtve azt én is láttam, hogy azonos, de azt hittem van valami ami alapján észre lehet venni, hogy a 2 egyenlet egyenlő (kifejtés nélkül)