Ha Győr lakosságának kb. 2%-a szereti a sajtot, mi az esélye, hogy...(a, b, c)?

Gondolom, mivel nincs megadva, hogy pontosan hány emberről beszélünk, eltekinthetünk attól, hogy az első ember kiválasztása után őt már nem választhatjuk újra, tehát minden kiválasztásnál számolhatunk 2%-os valószínűséggel.

(Mivel viszonylag sok emberről beszélünk és csak 10-et választunk, nem nagy eltérést okoz.)

Ekkor alkalmazhatjuk a binomiális eloszlást.

Nézd meg a képletét és helyettesíts be!

Mindenféle flancos tétel nélkül;

Tegyük fel, hogy a lakosságszám 50x, ekkor ennek 2%-a x, tehát x ember szereti a sajtot, 49x ember pedig nem.

Ha pontosan 0 ember szereti a sajtot, és visszatevés nélküli mintavételezéssel számolunk (tehát minden embert csak egyszer választható ki), akkor a valószínűség így alakul:

Összes eset: (50x)*(50x-1)*...*(50x-9)

Kedvező eset: (49x)*(49x-1)*...*(49x-9)

A kettő hányadosa adja a valószínűséget. Sajnos ennél jobban nem egyszerűsödik a végeredmény.

Azonban, ahogyan az 1-es válaszban olvasható, "nagyon nagy" alaphalmaz esetén a visszatevéses és visszatevéses mintavételezéssel számolt valószínűség minimálisan tér el, emiatt számolhatunk vissatevéves mintavételezéssel (vagyis 1 ember akár 10-szer is kiválasztható). Ekkor:

Összes eset: (50x)*(50x)*...*(50x) = (50x)^10

Kedvező eset: (49x)*(49x)*...*(49x) = (49x)^10

A kettő hányadosa szépen alakul: (49x)^10/(50x)^10 = (49/50)^10 =~ 0,817073

A végeredmény azért érdekes, mert x kiesett, tehát mindegy, hogy mekkora a lélekszám, mindig ugyanannyi lesz a valószínűség.

Ha pontosan 1 ember szereti a sajtot, akkor vegyünk egy konkrét kiválasztást; az I azt jelenti, hogy igen, szereti a sajtot, az N pedig azt, hogy nem. Ennek megfelelően az INNNNNNNNN azt jelenti, hogy az elsőnek kiválasztott ember szereti a sajtot, a többi nem. Ebben a konkrét esetben:

Összes eset: (50x)^10

Kedvező eset: x*(49x)*(49x)*...*(49x) = x*(49x)^9

Valószínűség: (x*(49x)^9)/(50x)^10 = 49^9/50^10 =~ 0,016675

Ez a valószínűség pedig csak a konkrét INNNNNNNNN betűsorra vonatkozik. Még meg kell néznünk, hogy ezek a betűk hányféleképpen írhatóak egymás mellé; ismétléses permutációval: 10!/9! = 10, viszont felírható 10!/(1!*9!) alakban is, ami definíció szerint (10 alatt az 1)-gyel egyenlő. Tehát a valószínűség 10*0,16675 = 0,16675.

Ezek alapján már könnyen összetehető az az eset, amikor pontosan 2 ember szereti a sajtot:

Összes eset: (50x)^10

Kedvező eset: (10 alatt a 2)*x*x*(49x)*(49x)*...*(49x) = 45 * x^2 * (49x)^8

Valószínűség: (45 * x^2 * (49x)^8)/(50x)^10 = 45*49^8/50^10 =~ 0,015314

Ha binomiális eloszlással akarod csinálni, akkor gyakorlatilag ugyanez fog kijönni. A levezetésnél használt metódus nem más, mint magának a binomiális eloszlásnak, mint tételnek a bizonyítási lépései.