199 fémpálcika, melyek egész egység hosszúságúak. A legrövidebb 1 egység, a leghosszabb199 egység, nincs két egyforma hosszúságú közöttük. Minden pálcikát felhasználva összeforrasztható-e belőlük egy téglatest formájú fémváz?

A téglatest fémvázának ossza 4*(a+b+c)

Ha jól értem a feladatot, akkor a fémpálcikák összhossza 1+2+3+...+198+199, ez az összeg 19900, tehát ezt az egyenletet kell megoldani:

4*(a+b+c) = 19900, osztunk 4-gyel:

a+b+c = 4975

Tehát a téglatest élei annak a feltételnek meg kell felelniük, hogy a három különböző él összege 4975.

Persze az a;b;c akármi nem lehet, például az a él nem lehet 1 egység hosszú, mert 4 darab a-t nem tudunk kirakni. Szerencsére azt tudjuk, hogy ha két oldalról összeadunk számokat, akkor az eredmény ugyanaz lesz. Például az 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 sorozatban 1+10=2+9=3+8=4+7=5+6=11. Ezt tudjuk felhasználni.

Mivel 4 darab a van, ezért kézenfekvő, hogy 8 darab számra van szükségünk, így 1+8=2+7=3+6=4+5=9, tehát az a hossza esetleg lehetne 9.

Ugyanezt a b-vel is meg tudjuk csinálni, csak most 9-től indulunk és 16-ig választunk: 9+16=10+15=11+14=12+13=25, tehát a b hossza lehetne 25.

Maradtak 17-től 199-ig számok, ezek összege 19764, tehát a c élek hossza 4941 kell, hogy legyen. Innen már annyira nem nehéz befejezni a feladatot.

Ha nincs jobb ötleted, akkor egyesével add össze számokat; akkor jársz jobban, hogyha a nagyobbaktól indulsz a kisebbek felé;

199+198=397

397+196=593, stb.

Azonban megteheted azt, hogy a sorozatod úgy kezeled, hogy az első tagja 199, differenciája (-1), így az n-edik tagja 199-(n-1)=200-n, így az összeg

n*(199+200-n)/2, ennek kell legfeljebb 4941-nek lennie:

n*(199+200-n)/2 <= 4941, ennek (jó) megoldása n<=26, tehát 26 számot tudsz összeadni úgy, hogy az összeg 4941 alatt marad. Az összeg 26*(199+200-26)/2=4849, ehhez még 92-t kell hozzáadnod, hogy meglegyen a pontos összeg, tehát vagy hozzáadod a 92-t, vagy kisebbekből összerakod, de jobban jársz, hogyha a 92-t rakod bele.

A következőt ugyanígy csinálod; a leghosszabb elérhető pálcikától indulsz, ami a 173, tehát a 173+172+171+... összeget vizsgálod, hogy mikor tud 4941 lenni. Persze vigyáznod kell arra, hogy a 92 ebben az összegben már nem lehet benne, így érdemesebb előbb azt megnézni, hogy a 173-...-93 közötti számok összege meghaladja-e a 4941-et. Ha igen, akkor minden megkötés nélkül fel lehet írni az előbbiek szerint a másodfokú egyenlőtlenséget, ha nem, akkor manuálisan kell még hozzáadogatni.

Előfordulhat egyébként, hogy "ütközés" lesz (tehát mégsem rakható össze a pálcikákból), akkor másik megközelítést kell keresni.

Egy egyszerű megoldás:

Tegyük félre a 199 hosszú pálcát. Hegesszük össze a legnagyobb és legkisebb pálcát, amig el nem fogy az összes. Lesz 198/2+1=100db egyforma hosszú pálcánk. Osszuk őket 4-es csoportokba. 1-1 élhez hegesszük össze annyi 4-es csoportból a darabokat, amennyi jólesik.