Hogyan válasszuk meg egy egység térfogatú téglatest oldalait, hogy a felszín minimális legyen?

Legyen a három él hossza a, b és 1/(a*b), ekkor a térfogat valóban egységnyi.

A felszín: 2a^2 + 2b^2 + 2/(a*b)^2

Az ilyen jellegű feladatoknál gyakran az a jó módszer, hogy a számtani-mértani közepek közötti összefüggést használjuk fel; osszunk, majd szorozzunk 3-mal:

3*(2a^2 + 2b^2 + 2/(a*b)^2)/3

Ekkor megjelenik az átlag, amiről tudjuk, hogy legalább annyi, mint a tagok mértani közepe, vagyis:

3*köbgyök(2a^2 * 2b^2 * 2/(a*b)^2) = 3*2 = 6

Tehát ha az ég összeér a földdel, az egységtérfogatú kocka felszíne akkor is 6 területegység, vagy annál több. Ha tudunk mondani egy olyan lehetőséget, amikor pont 6, akkor jók vagyunk, ha pedig ilyen nincs, akkor másik közelítési módot kell választanunk. Szerencsére ilyen téglatestet nem nehéz találni; ezt akkor kapjuk, hogyha a kocka minden éle 1 egység hosszú, tehát valóban az egységélű kocka felszíne a legkisebb az egységtérfogatú téglatestek között.

#3

"A felszín: 2a^2 + 2b^2 + 2/(a*b)^2"

Már miért lenne ennyi a felszín? Miért nem inkább

2ab+2a*(1/ab)+2b*(1/ab)=2ab+2/b+2/a ?

De, teljesen jogos.

Viszont szerencsére itt is működik az, amit írtam, és a minimumfelszínre a 6-ot kapjuk;

3*köbgyök(2ab*(2/b)*(2/a)) = 3*köbgyök(8) = 3*2 = 6.

#5

Ez már nyilván nem érdekli a kérdezőt, de a "Hogyan válasszuk meg egy egység térfogatú téglatest oldalait, hogy a felszín minimális legyen?" kérdésre a bizonyításod csak majdnem teljes. :-)