Mennyi 5/(2x-8) első és másodrendű deriváltja?

nem tudom b+ nehogy már ezt is itt kérdezzed meg

[link]

Tört deriválása: (f'*g - f*g')/g^2

Nézzük, hogy ki kicsoda:

f = 5

g = 2x-8

f' = 5' = 0

g' = (2x-8)' = 2

g^2 = (2x-8)^2

Ezek után maga a deriválás:

[0*(2x-8) - 5*2] / (2x-8)^2 = -5/(2x-8)^2

Ha ügyes vagy, akkor még kiemelhetsz a nevezőben 2-őt, így a végeredmény:

-5/[2(x-4)^2]

A másodrendű deriváltat próbáld meg ez alapján megcsinálni, nem nehéz.

3: Azt benézte 1-es. Nyilván -10/(2x-8)^2 lesz.

A második derivált pedig 40/(2x-8)^3 lesz.

Amúgy itt nem fontos törtet deriválni, hiszen a számláló nem x függvénye, hanem csak egy konstans. A konstans viszont kiemelhető (az a deriváltat is ugyanannyival fogja végül szorozni), és célszerű átírni a nevezőt negatív kitevőre: 5 * (2x-8)^(-1). Ekkor csak a (2x-8)^(-1)-t kell deriválni, ami pofonegyszerű, hiszen a kitevő "előremegy" szorzónak, maga a kitevő meg 1-gyel csökken, aztán meg szorozni kell a belső függvény, a 2x-8 deriváltjával, ami ugye szimplán 2: -1 * (2x-8)^(-2) * 2, azaz -2 * (2x-8)^(-2). Ezt szorzod a kiemelt 5-tel, és meg is kapod a megoldást: -10 * (2x-8)^(-2) (ami persze törtalakban -10 / (2x-8)^2).

Ha továbbderiváljuk a (2x-8)^(-2) függvényt: a -2 "előremegy" szorzónak, a kitevő megint csökken eggyel, és a belső függvény deriváltjával is kell szorozni még: -2 * (2x-8)^(-3) * 2, azaz -4 * (2x-8)^(-3). Ezt szorozva a konstans -10-zel: 40 * (2x-8)^(-3), ami törtalakban 40 / (2x-8)^3.

A válaszadó feljebb azért írt -5 -öt mivel -5/[2(x-4)^2] egyenlő -10/[(2x-8)^2] -el mivel a nevezőben lévő (2x-8)^2 -t a következőképpen alakíthatjuk:

(2x-8)^2 = 4x^2-32x+64

ebből négyet kiemelhetünk és 4(x^2-8x+16) -et kapunk. a zárójelben lévő tagokat átalakíthatjuk két szám különbségének négyzete alapján,

4(x^2-8x+16) = 4(x-4)^2

ezt visszahelyettesítve az osztásba azt kapjuk, hogy -10/[4(x-4)^2] amit pedig egyszerűsíthetünk 2-vel szóval a végeredmény -5/[2(x-4)^2] lesz.

Tehát lényegében az előző két válasz ugyanazt az eredményt éri el, csak annyi különbséggel, hogy egy esetleges számonkérésnél jobban szeretik ha a legegyszerűbb alakra hozod, főleg ha a feladatban külön kérik, habár eléggé valószínű, hogy a -10/(2x-8)^2 -ért sem fog senki kiakadni és ugyanúgy elfogadják.

#2: A -5/(2x-8)^2 kifejezésben a nevezőbeni 2 kiemelése a zárójel elé szerintem nem így történik:

-5/[2(x-4)^2] , hanem ekképp:

-5/[2(x-4)]^2 , vagyis a második hatvány (négyzetre emelés) érinti a zárójel elé kiemelt konstanst is, tehát:

-5/(2^2)(x-4)^2 = -5/4(x-4)^2

Megjegyzés: (ab)^2 = (a^2)(b^2)