X*e^x első és másodrendű deriváltja mi lesz, és miért?

x*e^x + e^x

és

x*e^x + e^x + e^x.

Az első simán a szorzat deriváltjára vonatkozó szabály miatt: (f*g)' = f*g' + f'*g; a második pedig az összeg deriváltjára vonatkozó szabály miatt: (f + g)' = f' + g'.

f(x) = x*e^x

1) Első derivált:

Mivel szorzat alapú a függvény, ezért a következő deriválási szabály alapján járunk el:

(f*g)' = f'*g + f*g'

- x deriváltja: 1 (pontosabban 1x^0, ami egyenlő 1-el)

- e^x deriváltja: e^x

f'(x) = 1*e^x + x*e^x = e^x + x*e^x

2) Második derivált:

Na ez egy kicsit összetettebb lesz: Az első deriváltunk két függvénynek az összege, ezért tagonként deriváljuk:

(f+g)' = f' + g'

- Az első tag e^x, deriváltja: e^x

- A második tag két függvénynek a szorzata, ezért alkalmazzuk rá az ismert deriválási szabályt: (f*g)' = f'*g + f*g'. Tehát a második tag deriváltja: 1*e^x + x*e^x = e^x + x*e^x

f''(x) = e^x + e^x + x*e^x