Koordinátageometria házi?

a) Három pontra illeszkedő kör esetén a három pont által meghatározott háromszög köréírható körére van szükségünk. A köréírható kör középpontja mindig az oldalafelező merőlegesek metszéspontján van, így ennek az egyenletét kell felírni.

A megadott pontok által meghatározott oldal/szakasz felezőpontja F(1,5 ; 0,5), a két pont által meghatározott (egyik) vektor (7;-3), ez a vektor merőleges a keresett egyenesre, ezért annak normálvektora. A normálvektoros egyenes egyenletének képletébe behelyettesítve:

7*x - 3*y = 7*1,5 - 3*0,5 = 10,5 - 1,5 = 9, vagyis

7x - 3y = 9 az oldalfelező merőleges egyenlete.

Mivel a középpont az y-tengelyen van, ezért a pont első koordinátája biztosan 0, vagyis x=0, ezt kell beírnunk az előbbi egyenletbe:

7*0 - 3y = 9, ennek megoldása y=-3, tehát a kör középpontja a (0;-3) pont.

A kör egyenletéhez a kör sugara is kell, ehhet ki kell számolnunk a (0;-3) pont és valamelyik eredetileg adott pont távolságát. Ellenőrzésképp érdemes mindkettővel számolni;

egyikkel: gyök[ (0-(-2))^2 + (-3-2)^2 ] = gyök(4+25) = gyök(29)

másikkal: gyök[ (0-5)^2 + (-3-(-1))^2] = gyök(25+4) = gyök(29)

Tehát jól számoltunk, és a kör sugara gyök(29) egység.

A kör egyenlete pedig így néz ki:

x^2 + (y+3)^2 = gyök(29)^2, vagyis

x^2 + (y+3)^2 = 29

b) Ha rajta van a két egyenesen is a pont, akkor azok metszéspontja kell, azt pedig úgy tudjuk kiszámolni, hogy a két egyenletet egyenletrendszerbe foglaljuk:

7x - 3y = 9 }

4x + 3y = 24 }

Érdemes összeadni a két egyenletet, ekkor y kiesik:

11x = 33, ennek megoldása x=3, tehát a metszéspont első kooordinátája 3. A másodikhoz ezt kell behelyettesítenünk x helyére valamelyik egyenletben. Most az elsőbe írom be:

7*3 - 3y = 9, vagyis

21 - 3y = 9, kivonunk 21-et:

-3y = -12, végül osztunk (-3)-mal:

y = 4, tehát a második koordináta 4, így a (3;4) pontot kapjuk, ez lesz a kör középpontja.

Ahogyan az előbb, most is távolságot számolunk:

egyikkel: gyök[ (3-(-2))^2 + (4-2)^2 ] = gyök(25+4) ​= gyök(29)

másikkal: gyök[ (3-5)^2 + (4-(-1))^2 ] = gyök(4+25) = gyök(29)

Tehát itt is gyök(29) hosszú a sugár.

A kör egyenlete:

(x-3)^2 + (y-4)^2 = gyök(29)^2, vagyis

(x-3)^2 + (y-4)^2 = 29.