Írja fel a P(-1;1),Q(4;2) S(4;-4) ,pontokon áthaladó kör egyenletét! Valaki segíthet?

Itt megtalálod a feladatot levezetve más számokkal:

[link]

Ahogyan annak idején a szerkesztésnél, itt is az oldalfelező merőlegesek metszéspontja adja a kör középpontját.

Lépések:

-kiszámolod a PQ oldal felezőpontját

-felírod a PQ (vagy QP, mindegy) vektort, ez a vektor MERŐLEGES a keresett egyenesre, tehát annak normálvektora lesz

-adott egy pont, amin átmegy az egyenes és egy normálvektor, így használható az unásig gyakorolt Ax+By=Ax0+By0 képlet, ezzel megkapod a PQ oldalt felező merőleges egyenes egyenletét.

-a fenti lépéseket megcsinálod valamelyik másik oldalra is (vagy mindkettőre, ha biztosra akarsz mennyi)

-ha megvan 2 (vagy mindhárom) felező merőleges egyenes egyenlete, akkor azok metszéspontját keresed, így egyenleteiket egyenletrendszerbe foglalod, és azt megoldod. Elég csak kettőre megoldani, a harmadikat pedig lehet ellenőrzésre használni.

-ha megvan a fenti metszéspont, akkor már csak a sugár kell, ehhez a metszéspont távolságát kiszámolod valamelyik csúcstól (lehet mindhármat is, ezzel is lehet ellenőrizni a számítások helyességét)

-ha megvan a sugár és a kör középpontja, akkor az unásig gyakorolt (x-u)^2+(y-v)^2=r^2 képletbe be lehet helyettesíteni.

Próbáld meg a lépéseket végigvinni. Hidd el, jobban jársz így, hogyha mi írjuk le a megoldást.

Persze úgy is lehet számolni, ahogyan a linken is látható, már ha mazochisták vagyunk.

Leírhatom, ha annyira szeretnéd... És nem arról van szó, hogy nem szeretném, csak nem volt rá időm.

Első körben érdemes egyébként megbarátkozni a GeoGebra nevezetű oldallal. Ha betáplálod az adatokat, akkor rögtön kiadja, hogy minek kell kijönnie. Az eredmény:

(x-2)^2 + (y+1)^2 = 13. Ha nem ezt kaptad, akkor valahol hiba van a levezetésedben.

Akkor nézzük, hogy is kellene levezetni;

PQ felezőpontja: F1(1,5 ; 1,5)

QS felezőpontja: F2(4 ; -1)

PS felezőpontja: F3(1,5 ; -1,5)

Most írjuk fel az oldalak irányvektorait, amik a keresett egyenesek normálvektorai lesznek:

PQ vektor: n1(5 ; 1)

QS vektor: n2(0 ; -6)

PS vektor: n3(5 ; -5)

Ezek alapján felírhatóak az oldalfelező merőlegesek egyenletei:

PQ-ra merőleges: 5x + y = 5*1,5 + 1,5 = 9, vagyis 5x+y=9

QS-re merőleges: 0x - 6y = 0*4 -6*(-1) = 6, tehát -6y=6

PS-re merőleges: 5x - 5y = 5*1,5 - 5*(-15) = 15, vagyis 5x-5y=15

Ennek a három egyenesnek kell a metszéspontja. Mivel ha három metszi egymást, akkor kettő is, ezért elég kettőt egyenletrendszerbe foglalni, a harmadikon pedig ellenőrzünk.

Vegyük az első két egyenletet:

5x+y=9 }

-6y=6 }

Itt most könnyű dolgunk van, mert a második egyenletből rögtön megkapjuk y értékét; y=-1, ezt beírjuk az első egyenletben y helyére:

5x-1=9, ennek megoldása x=2, tehát a két egyenes metszéspontja M(2;-1).

Nézzük, hogy ezen a ponton átmegy-e a harmadik egyenes is, ehhez csak be kell helyettesítenünk:

5*2-5*(-1)=10+5=15=15, tehát teljesül az egyenlőség, így mindhárom egyenes ebben a pontban találkozik. Így az M pont egyben a háromszög köréírt kör középpontja is.

Most szükségünk van a sugárra, ehhez ki kell számolnunk a PM, QM, SM szakaszok hosszai közül legalább az egyiket, de lehet mindhármat is. Érdemes úgy számolni, ogy előbb kiszámoljuk a vektorokat, és azoknak számoljuk a hosszát;

PM vektor: (-3 ; 2), hossza: gyök( (-3)^2 + 2^2 ) = gyök(13)

QM vektor: (2 ; 3), hossza: gyök( 2^2 + 3^2 ) = gyök(13)

SM vektor: (2 ; -3), hossza: gyök( 2^2 + (-3)^2 ) = gyök(13)

Mindhárom távolság ugyanakkora, így már biztos, hogy jól számoltunk.

Így már minden adott, hogy a kör egyenletét felírjuk:

(x-2)^2 + (y-(-1))^2 = gyök(13)^2, vagyis

(x-2)^2 + (y+1)^2 = 13

És azt is kaptuk, amit a GeoGebra adott eredménynek.