Oldjuk meg az egyenlő együtthatók módszerével az R x R kiindulási halamzon a következő egyenletrendszereket?

Az együttható ugye az a szám, ami az x ill. az y előtt áll. Az a cél, hogy az egyenletrendszer mindkét egyenletében valamelyik ismeretlennek ugyanannyi legyen az együtthatója, pl. mindkettőben 5y legyen. Ekkor ugyanis a két egyenletet össze lehet adni vagy ki lehet vonni egymásból, és az azonos együtthatóval rendelkező ismeretlen ezáltal rögvest ki is esik. Marad a másik ismeretlenre egy tök egyszerű egyenlet, annak eredményéből meg magkapod az első ismeretlen értékét is.

Az együtthatókat úgy lehet egyenlővé tenni, hogy valamelyik (vagy mindkét) egyenletet megszorzod annyival, hogy a kiszemelt ismeretlen együtthatói megegyezzenek. Ha pl. az egyik egyenletben 3x van, a másikban meg 6x, akkor célszerű az első egyenlet mindkét oldalát megszorozni 2-vel, így abban is utána 6x lesz; ezután a két egyenlet kivonható egymásból, és az x-es tag ki fog esni. Ha az együtthatók csak az előjelben térnek el (pl. 3x és –3x), akkor meg össze kell adni az egyenleteket – ekkor is ki fog esni.

Szia!

2-es leírta a megoldás elvét. A megoldások pedig itt vannak:

21.a)

2x+y=11

3x–y=9

A két egyenletet összeadva y kiesik:

5x=20

x=20/5=4

Az y-t bármelyik egyenletből kifejezve megkapod, például az elsőből:

y=11–2x=11–2·4=3

b)

x+5y=7

x–3y=–1

A két egyenletet kivonva x kiesik (az elsőből érdemes kivonni a másodikat, mert akkor pozitív előjelek maradnak):

8y=8

y=1

Ezt behelyettesítjük például az első egyenletbe:

x+5·1=7

Ebből kifejezzük x-et:

x=2

22.a)

x–3y=4

5x+3y=–1

A két egyenletet összeadva 3y kiesik:

6x=3

x=1/2

Ezt behelyettesítjük például a második egyenletbe:

5·(1/2)+3y=–1

3y=–1–(5/2)=–7/2

y=–7/6

b)

4x+3y=6

2x+y=4

Ha a második egyenletet megszorozzuk 2-vel, és a két egyenletet kivonjuk egymásból, akkor kiesik az 4x. Hasonlóan, ha a második egyenletet megszorozzuk 3-mal, és a két egyenletet kivonjuk egymásból, akkor kiesik az 3y. Vagy, ha a második egyenletet megszorozzuk –2-vel és a két egyenletet összeadjuk, akkor kiesik az 4x, illetve a második egyenletet –3-mal szorozva és a két egyenletet összeadva kiesik a 3y. Válasszuk ezt a legutolsót:

4x+3y=6

–6x–3y=–12

Adjuk össze a két egyenletet:

–2x=–6

x=–6/(–2)=3

y-t fejezzük ki a második egyenletből:

y=4–2x=4–2·3=–2

Illene elvégezni az ellenőrzéseket is, fejben elvégeztem, mindegyik jónak tűnik. Így már sikerült megérteni? Ha nem, akkor nyugodtan kérdezz.