Egy normális eloszlású populáció várható értéke 13. Mintát vettünk az elemszám 25 a korrigált szórás 2,5. Mennyi a valószínűsége annak, hogy minta átlagunk kisebb lesz mint 12? Az eredmény 1000 szeresét adja meg!?

Nagy számok törvénye: átlag szórása = valváltozó szórása / gyök(n) = 2.5 / 5 = 0.5

A 12 a 13-tól kétszer ilyen messze van, tehát 2 szigmához tartozó valószínűséggel lesz kisebb mint 12, amit történetesen fejből tudok hogy 2.3%

#2 ha arra gondolsz, hogy a korrigált szórásnak is van bizonytalansága, akkor (hacsak nem létezik tétel, miszerint nem befolyásolja a végeredményt) ez egy komoly feladat egy komoly kurzusról, amit szinte kizártnak tartok, mivel az ilyen hf kérdéseket 90%-ban hülyegyerekek írják ki akik nem felsőbb matematikát tanulnak.

De amúgy jogos, ez esetben az #1-est ki kéne integrálni így:

integrál mínusz végtelentől plusz végtelenig p(v) * cdf((12-13)/(v/gyök(n)) dv, ahol p(v) a korrigált szórás sűrűségfüggvénye, tehát egy 2.5 körüli valamiféle eloszlás. Azt nem tudom, hogy milyen, utána kéne nézni, de biztos nem normális, mivel negatív szórás nem létezik. Ennek az eredménye lehet hogy egy hangyafsznyit valóban eltérne cdf(-2)-től.

[link]

Nekem ez büdös, amondó vagyok, hogy kell még egy csomó csomó feltétel, amik nincsenek kimondva vagy leírva sehol. Soha nem sikerült elkapnom hogy nagy vonalakban mi történik, és hogy az miért jó.

Miért kapunk egy konkrét eredményt, és miért nem függ a valószínűség attól, hogy mi a szórás eloszlása?

Itt a legfontosabb feltetel, hogy X normalis eloszlasu, igy X_bar is normalis eloszlasu. Ha tudnank a szorast, akkor X_bar -mu / sigma standard normal eloszlasu lenne. Mivel nem tudjuk, hanem a mintabol becsuljuk, t eloszlast kapunk.

Mire gondolsz a szoras eloszlasa alatt? A szoras egy skalar parameter, nem valoszinusegi valtozo, nincs eloszlasa. A becsult szorasnak van (a becsult szorasnegyzet eloszlasa chi-square n-1 d.f.), pont ezt vesszuk figyelembe, amikor t eloszlast hasznalunk z helyett. A t eloszlasnak kicsit vastagabb farkai vannak, de tart a z eloszlashoz ahogy df->inf, ezek a vastagabb farkak is mutatjak, hogy a szoras becslese miatti bizonytalansagot figyelembe vesszuk, nagyobb eselyt adunk a szelsoseges ertekeknek.

Köszi a választ!

Amikor a valószínűségi mező konkrét, akkor jó vagyok, például ha a feladatban meg lenne adva, hogy a szórás eloszlása valami r függvény, akkor minden nagyon szép lenne, jó lenne, kiszámítható lenne integrálással. Esetleg, ha nincs is megadva, akkor is fel szokás venni egy 0-hipotézist, és azt mondani, hogy ez a nullhipotézis, ezzel számolok.

De így, hogy van egy ismeretlen paraméter a valószínűségi mezőben, amiről nem tudunk semmit, így nem látom, hogyan van értelme valószínűségről beszélni egyáltalán.

> A becsult szorasnak van (a becsult szorasnegyzet eloszlasa chi-square n-1 d.f.), pont ezt vesszuk figyelembe, amikor t eloszlast hasznalunk z helyett.

Amit a Student t ad, úgy áll elő, hogy számolunk egy likelihood-eloszlást az ismeretlen paraméteren (a valváltozó szórásán), majd utána azt vesszük igazi eloszlásnak, és azzal számolunk?

Ezt még emésztenem kell, hogy egyáltalán valószínűségnek hívjam-e.

Egy analóg, diszkrét példa: van egy pénzünk, amelyik vagy 1 valószínűséggel fejre esik, vagy 0.5-0.5 eséllyel fej és írás. Dobunk egyszer, fej, mennyi az esélye, hogy a következő esetben is fej lesz?

Van benne egy paraméter, aminek nem tudjuk az eloszlását.

A statisztika erre azt mondja, hogy nem kell semmilyen feltevés, semmilyen mögöttes hipotézis az ismeretlen paraméter eloszlására, nem kell feltenni hogy mondjuk 0.5-0.5 a pénzérme eloszlása, itt van ez a konkrét szám, ez a valószínűség, kész? Nekem ez büdös.

(Ha jól gondolom, a példámban a likelihood eloszlás fej esetén 2:1 arra, hogy a pénz mindig fejt ad, így a hivatalos válasz az, hogy 0.75 eséllyel kapunk újra fejet, és 0.25 eséllyel kapunk írást.)

Vagy nem is jó az analóg példám, nem ez történik az eredeti felaedatban, hanem tök más, és a paraméter igazi eloszlása kiesik?

Bocs, ha zavaros, még nem tisztáztam le magamban, hogy mit gondolok.

#8: Na igen, én is gondolkoztam azóta a kályhától való levezetésen. Oké, az a válasz, hogy a t-eloszlást kell használni, kész, passz. De mit csinálnék, ha ezt nem tudnám (ahogy nem tudtam), és valahogy mégis zöld ágra akarnék vergődni?

Amit a 3-asban írtam, rosszul: a p(v) nem a tapasztalati szórás eloszlása, ahogy a 7-es is megjegyezte, hanem a valódi szórás likelihood-függvénye a tapasztalati szórás ismeretében, tehát P(szórás=v | tapasztalati szórás=2.5)

Ha adott szórás esetén a tapasztalati szórás (pontosabban szórásnégyzet) chi2 szerint alakul akkor ezt a fenti likelihood-ot úgy tudom elképzelni, hogy az egyes v szórásnégyzetekhez tartozó chi2 sűrűségfüggvényeket értékelem ki a tapasztalati szórásnégyzet helyén, és ezekből fűzöm össze p(v)-t. De ehhez valóban kellene még az, hogy legyen egy priorom a valódi szórásra. Az úgy nem tűnik kósernek, hogy konstans súllyal veszek mindent 0 és végtelen között, mert még ha jól viselkedő függvényt is kapok, milyen alapon nevezem én azt sűrűségfüggvénynek?

#8

> A statisztika erre azt mondja, hogy nem kell semmilyen feltevés, semmilyen mögöttes hipotézis az ismeretlen paraméter eloszlására, nem kell feltenni hogy mondjuk 0.5-0.5 a pénzérme eloszlása, itt van ez a konkrét szám, ez a valószínűség, kész?

A "How the t-distribution arises" resz szerintem hasznos: [link]

Illetve: [link]

Thus for inference purposes t is a useful "pivotal quantity" in the case when the mean and variance are unknown population parameters, in the sense that the t-value has then a probability distribution that depends on neither (!) on the true mean and variance. --> Tehat nem szamit mi az igazi erekte a varhato erteknek es a szorasnak, a t-eloszlas nem fugg ettol.

Viszont ahhoz hogy ki tudjuk szamolni a t erteket a mintaban szuksegunk van a varhato ertekre (ezt most megadtak, de hasznalhatnank a torzitatlan becslest a mintabeni atlagot) es a szorasnegyzet torzitatlan becslesere (amit ugye a mintabol megkaptunk).

A z-test is hasonlo csak ott tudjuk a mu-t es a sigma-t is:

z = sqrt(n) * (X_bar - mu) / sigma -> mindig N(0,1) az eloszlasa, nem fugg mu-tol vagy sigma-tol.

A [link] oldal mutat egy peldat, ahol nem lehet ilyen pivotal quantity-t talalni.

#7