Bizonyítás primszamokra?

"Miért kell az összes primszamot szorozni egymással?"

Mert ha a szorzathoz 1-et hozzáadsz, akkor az 1-n prímszámok mindegyikével 1 maradékot fog adni, vagyis nem lesz velük osztható. Emiatt X prímfelbontásában vagy más prímszamok szerepelnek, mint a feltételezett létezők vagy maga is prímszám.

Kelleni éppen nem kell, de azzal is lehet bizonyítani.

Nézzük kicsiben;

Bizonyítsuk be, hogy a 2;3;5 számokon kívül léteznek még prímszámok (legalább egy).

Bizonyítás: tegyük azt meg, hogy ezeket a számokat összeszorozzuk: 2*3*5, most nem számolom ki. Erről a szorzatról biztosan tudjuk, hogy osztható az „összes” (ismert) prímszámmal. Viszont ha hozzáadunk 1-et, akkor a kapott szám sem 2-vel, sem 3-mal, sem 5-tel nem lesz osztható, mivel a maradék 1. Mivel azt tudjuk, hogy minden 1-nél nagyobb szám felírható prímszámok szorzataként (számelmélet alaptétele), ezért 3 eshetőség van;

-az 5 előtt még van prímszám, amit nem írtunk fel, ehhez végig kell nézni a számokat, hogy van-e még prím (jelen helyzetben csak a 4 lehet esélyes, az meg nem az).

-az 5 és a keletkezett szám között van olyan prímszám, ami osztója a számnak. A keletkezett szám a 31, ezt az 1-en kívül más számmal nem tudjuk osztani.

-a keletkező szám prímszám. Igen, a 31 muszáj az lenni, mert nem tudjuk osztani semmivel az 1-en és önmagán kívül.

Általánosan nézve, akármelyik is legyen a három lehetőség közül, mindig találunk olyan prímszámot, ami nem lett felírva, így véges sok prímszám nem lehet.